Dada a curva:
\mathbf{r}(t)=\left(e^{t}, e^{-t}\right)
Determine o vetor normal unitário no ponto t=0.

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada \mathbf{r}(t)=\bigl(e^{t},e^{-t}\bigr) e pede o vetor normal unitário no ponto t=0.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função posição é \mathbf{r}(t)=\bigl(e^{t},e^{-t}\bigr).
  • O ponto onde queremos o vetor normal unitário é t=0.
  • Para obter um vetor normal unitário normalmente precisaremos do vetor tangente unitário \mathbf{T}(t) e de sua derivada \mathbf{T}'(t).

Passo 2

Definição e cálculo do vetor velocidade e do vetor tangente unitário.
Primeiro calculemos a derivada da posição (vetor velocidade)
\mathbf{r}'(t)=\left(\frac{d}{dt}e^{t},\frac{d}{dt}e^{-t}\right)=\left(e^{t},-e^{-t}\right).
O módulo (velocidade) é
v(t)=\|\mathbf{r}'(t)\|=\sqrt{\bigl(e^{t}\bigr)^{2}+\bigl(-e^{-t}\bigr)^{2}}=\sqrt{e^{2t}+e^{-2t}}.
O vetor tangente unitário é dado por
\mathbf{T}(t)=\frac{\mathbf{r}'(t)}{\|\mathbf{r}'(t)\|}=\frac{\mathbf{r}'(t)}{v(t)}.

Passo 3

Avaliar \mathbf{r}'(t), v(t) e \mathbf{T}(t) em t=0.
Calculemos os valores em t=0:
\mathbf{r}'(0)=\left(e^{0},-e^{0}\right)=(1,-1), \qquad v(0)=\sqrt{e^{0\cdot2}+e^{0\cdot(-2)}}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.
Portanto o tangente unitário em t=0 é
\mathbf{T}(0)=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1)=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right).

Passo 4

Definição do vetor normal principal e fórmula prática para \mathbf{T}'(t).
O vetor normal unitário principal \mathbf{N}(t) é dado por
\mathbf{N}(t)=\frac{\mathbf{T}'(t)}{\|\mathbf{T}'(t)\|},
ou seja, normalizamos a derivada do tangente unitário. Para calcular \mathbf{T}'(t) usamos a regra do quociente para \mathbf{T}(t)=\mathbf{r}'(t)/v(t); isso fornece a fórmula
\mathbf{T}'(t)=\frac{\mathbf{r}''(t)\,v(t)-\mathbf{r}'(t)\,v'(t)}{v(t)^{2}}.
Assim precisamos de \mathbf{r}''(t) e de v'(t).

Passo 5

Calcular \mathbf{r}''(t), v'(t) e avaliar em t=0.
Derivada segunda:
\mathbf{r}''(t)=\left(\frac{d}{dt}e^{t},\frac{d}{dt}(-e^{-t})\right)=\left(e^{t},e^{-t}\right).
Derivada de v(t). Como v(t)=\sqrt{e^{2t}+e^{-2t}}, usando derivada de raiz:
v'(t)=\frac{1}{2v(t)}\cdot\frac{d}{dt}\bigl(e^{2t}+e^{-2t}\bigr) =\frac{1}{2v(t)}\bigl(2e^{2t}-2e^{-2t}\bigr) =\frac{e^{2t}-e^{-2t}}{v(t)}.
Avalie em t=0:
\mathbf{r}''(0)=(1,1), \qquad v'(0)=\frac{1-1}{\sqrt{2}}=0.

Passo 6

Calcular \mathbf{T}'(0) usando a fórmula do Passo 4 e os valores do Passo 5.
Substituindo em
\mathbf{T}'(t)=\frac{\mathbf{r}''(t)\,v(t)-\mathbf{r}'(t)\,v'(t)}{v(t)^{2}},
obtemos em t=0
\mathbf{T}'(0)=\frac{\mathbf{r}''(0)\,v(0)-\mathbf{r}'(0)\,v'(0)}{v(0)^{2}} =\frac{(1,1)\sqrt{2}-(1,-1)\cdot 0}{(\sqrt{2})^{2}} =\frac{(1,1)\sqrt{2}}{2} =\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1).

Passo 7

Normalizar \mathbf{T}'(0) para obter \mathbf{N}(0).
Calcule o módulo de \mathbf{T}'(0):
\|\mathbf{T}'(0)\|=\left\|\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1)\right\| =\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{1^{2}+1^{2}} =\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=1.
Como o módulo já é 1, o vetor \mathbf{T}'(0) já é unitário. Logo o vetor normal unitário no ponto t=0 é
\mathbf{N}(0)=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1)=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right).

Resposta

\displaystyle \mathbf{N}(0)=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)

Exercícios relacionados