Dada a curva:
\mathbf{r}(t)=\left(t^{2}, t^{3}\right)
Determine o vetor tangente unitário no ponto t=1.

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
\mathbf{r}(t)=\left(t^{2},t^{3}\right)
e pede o vetor tangente unitário no ponto t=1.
Informações fornecidas:
  • A função vetorial \mathbf{r}(t) com componentes x(t)=t^{2} e y(t)=t^{3}.
  • O valor do parâmetro onde precisamos o vetor tangente unitário: t=1.
O que é pedido:
  • Encontrar o vetor tangente unitário \mathbf{T}(1) no ponto correspondente a t=1.

Passo 2

Conceito importante (aula rápida): o vetor derivada \mathbf{r}'(t) é o vetor tangente (direção e sentido) à curva em cada t. Ou seja, \mathbf{r}'(t) aponta na direção em que a curva está indo naquele instante. Para obter o vetor tangente unitário, normaliza-se esse vetor dividindo-o pelo seu comprimento.
Fórmula-chave:
\mathbf{T}(t)=\frac{\mathbf{r}'(t)}{\|\mathbf{r}'(t)\|},
onde \|\mathbf{r}'(t)\| é a norma (comprimento) do vetor \mathbf{r}'(t).

Passo 3

Calcular a derivada componente a componente. Derivando x(t)=t^{2} e y(t)=t^{3} em relação a t:
\mathbf{r}'(t)=\left(\frac{d}{dt}t^{2},\frac{d}{dt}t^{3}\right)=\left(2t,3t^{2}\right).

Passo 4

Avaliar a derivada em t=1:
\mathbf{r}'(1)=\left(2\cdot1,\,3\cdot1^{2}\right)=\left(2,3\right).
Interpretação: \mathbf{r}'(1)=(2,3) é um vetor tangente (não normalizado) à curva no ponto t=1.

Passo 5

Calcular a norma (comprimento) de \mathbf{r}'(1). Para um vetor (a,b) em \mathbb{R}^{2},
\|(a,b)\|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}.
Aplicando a \mathbf{r}'(1)=(2,3):
\|\mathbf{r}'(1)\|=\sqrt{2^{2}+3^{2}}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}.
(Se quiser uma aproximação numérica: \sqrt{13}\approx3{,}6055.)

Passo 6

Normalizar \mathbf{r}'(1) dividindo pelo seu comprimento para obter \mathbf{T}(1):
\mathbf{T}(1)=\frac{\mathbf{r}'(1)}{\|\mathbf{r}'(1)\|}=\frac{(2,3)}{\sqrt{13}}=\left(\frac{2}{\sqrt{13}},\frac{3}{\sqrt{13}}\right).
Verificação rápida de que é unitário:
\left\|\mathbf{T}(1)\right\|=\sqrt{\left(\frac{2}{\sqrt{13}}\right)^{2}+\left(\frac{3}{\sqrt{13}}\right)^{2}} =\sqrt{\frac{4+9}{13}}=\sqrt{1}=1.
Tudo certo — é um vetor de comprimento 1.

Resposta

\displaystyle \mathbf{T}(1)=\left(\frac{2}{\sqrt{13}},\frac{3}{\sqrt{13}}\right)

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