Dada a curva:
Determine o vetor tangente unitário no ponto
.
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica
e pede o vetor tangente unitário no ponto
.
Informações fornecidas:
- A função vetorial
com componentes e . - O valor do parâmetro onde precisamos o vetor tangente unitário:
.
O que é pedido:
- Encontrar o vetor tangente unitário
no ponto correspondente a .
Passo 2
Conceito importante (aula rápida): o vetor derivada
é o vetor tangente (direção e sentido) à curva em cada
. Ou seja,
aponta na direção em que a curva está indo naquele instante. Para obter o vetor tangente unitário, normaliza-se esse vetor dividindo-o pelo seu comprimento.
Fórmula-chave:
onde
é a norma (comprimento) do vetor
.
Passo 3
Calcular a derivada componente a componente. Derivando
e
em relação a
:
Passo 4
Avaliar a derivada em
:
Interpretação:
é um vetor tangente (não normalizado) à curva no ponto
.
Passo 5
Calcular a norma (comprimento) de
. Para um vetor
em
,
Aplicando a
:
(Se quiser uma aproximação numérica:
.)
Passo 6
Normalizar
dividindo pelo seu comprimento para obter
:
Verificação rápida de que é unitário:
Tudo certo — é um vetor de comprimento
.