Calcule a curvatura das curvas nos pontos especificados:
\alpha(t)=\left(t^{2}, \ln t, t \ln t\right) ;(1,0,0).

Passo 1

O enunciado pede a curvatura da curva
\alpha(t)=\bigl(t^{2},\ln t,t\ln t\bigr)
no ponto (1,0,0). Esse ponto corresponde a t=1, pois \alpha(1)=(1,0,0). Para resolver usamos a fórmula de curvatura de curva no espaço
\kappa(t)=\frac{\bigl\|\alpha'(t)\times\alpha''(t)\bigr\|}{\bigl\|\alpha'(t)\bigr\|^{3}}.

Passo 2

Calculemos as derivadas primeiras e segundas de \alpha.
Derivando componente a componente temos
\alpha'(t)=\bigl(2t,\;t^{-1},\;\ln t+1\bigr),
\alpha''(t)=\bigl(2,\;-t^{-2},\;t^{-1}\bigr).

Passo 3

Agora avaliamos em t=1:
\alpha'(1)=\bigl(2,\;1,\;0+1\bigr)=(2,1,1),
\alpha''(1)=\bigl(2,\;-1,\;1\bigr).

Passo 4

Formamos o produto vetorial \alpha'(1)\times\alpha''(1):
\alpha'(1)\times\alpha''(1) =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 2&1&1\\\\ 2&-1&1 \end{vmatrix} =(2,0,-4).
Seu módulo é
\bigl\|\alpha'(1)\times\alpha''(1)\bigr\|=\sqrt{2^{2}+0^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}.
E o módulo de \alpha'(1) é
\bigl\|\alpha'(1)\bigr\|=\sqrt{2^{2}+1^{2}+1^{2}}=\sqrt{6}.

Passo 5

Substituindo na fórmula da curvatura:
\kappa(1) =\frac{2\sqrt{5}}{\bigl(\sqrt{6}\bigr)^{3}} =\frac{2\sqrt{5}}{6\sqrt{6}} =\frac{\sqrt{5}}{3\sqrt{6}} =\frac{\sqrt{30}}{18}.

Resposta

\kappa(1)=\frac{\sqrt{30}}{18}.

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