Dada uma curva \alpha: I \rightarrow \mathbb{R}^{n}, \operatorname{com} \alpha(t) \neq 0 para todo t \in I, mostre que
\frac{d}{d t}|\alpha(t)|=\frac{\alpha(t) \cdot \alpha^{\prime}(t)}{|\alpha(t)|}

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para uma curva \alpha\colon I\to\mathbb{R}^n com \alpha(t)\neq0 em todo t, vale
\frac{d}{dt}|\alpha(t)| \;=\;\frac{\alpha(t)\cdot \alpha'(t)}{|\alpha(t)|}.
O que vamos usar é a definição de norma em termos de produto escalar, a regra da cadeia e a derivada do produto escalar.

Passo 2

Primeiro reescrevemos a norma como raiz do produto escalar consigo mesma:
|\alpha(t)| = \sqrt{\alpha(t)\cdot \alpha(t)}.
Definimos
h(t) = \alpha(t)\cdot \alpha(t) \quad\text{e}\quad g(x) = \sqrt{x},
de modo que |\alpha(t)| = g\bigl(h(t)\bigr).

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia à composição g(h(t)). Como
g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}},
temos
\frac{d}{dt}|\alpha(t)| = g'\bigl(h(t)\bigr)\,\cdot\,h'(t) = \frac{1}{2\sqrt{h(t)}}\,h'(t) = \frac{1}{2|\alpha(t)|}\;h'(t).

Passo 4

Agora computamos h'(t). Como
h(t) = \alpha(t)\cdot \alpha(t) = \sum_{i=1}^n \bigl(\alpha_i(t)\bigr)^2,
a derivada é
h'(t) = 2\,\alpha(t)\cdot \alpha'(t).
Substituindo em \frac{1}{2|\alpha(t)|}\,h'(t) obtemos
\frac{d}{dt}|\alpha(t)| = \frac{1}{2|\alpha(t)|}\,\bigl(2\,\alpha(t)\cdot \alpha'(t)\bigr) = \frac{\alpha(t)\cdot \alpha'(t)}{|\alpha(t)|}.

Resposta

\frac{d}{dt}|\alpha(t)| = \frac{\alpha(t)\cdot \alpha'(t)}{|\alpha(t)|}.

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