Dada uma curva
para todo
, mostre que
Passo 1
O enunciado pede para provar que, para uma curva
com
em todo
, vale
O que vamos usar é a definição de norma em termos de produto escalar, a regra da cadeia e a derivada do produto escalar.
Passo 2
Primeiro reescrevemos a norma como raiz do produto escalar consigo mesma:
Definimos
de modo que
.
Passo 3
Aplicamos a regra da cadeia à composição
. Como
temos
Passo 4
Agora computamos
. Como
a derivada é
Substituindo em
obtemos