Use a fórmula do exercício anterior para mostrar que, se \alpha é a curva gerada pelo gráfico de uma função y=f(x), então a curvatura de \alpha é dada por
k=\frac{\left|f^{\prime \prime}\right|}{\left(1+\left(f^{\prime}\right)^{2}\right)^{3 / 2}}

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, quando \alpha é o gráfico de uma função y=f(x), sua curvatura é
k=\frac{\bigl|f''(x)\bigr|}{\bigl(1+(f'(x))^2\bigr)^{3/2}}.
O conteúdo que vamos usar é a fórmula geral da curvatura de uma curva parametrizada \alpha(t)=(x(t),y(t)), dada por
k(t)=\frac{\bigl|x'(t)\,y''(t)-y'(t)\,x''(t)\bigr|}{\bigl((x'(t))^2+(y'(t))^2\bigr)^{3/2}}.

Passo 2

Vamos parametrizar \alpha pela própria variável x. Ou seja, tomamos
\alpha(x)=\bigl(x,\;f(x)\bigr),
onde o parâmetro t do caso geral foi identificado com x.

Passo 3

Computamos as derivadas de \alpha(x):
x'(x)=1,\quad y'(x)=f'(x),
x''(x)=0,\quad y''(x)=f''(x).

Passo 4

Substituímos esses valores na fórmula geral:
k(x) = \frac{\bigl|\,1\cdot f''(x)-f'(x)\cdot 0\bigr|}{\bigl(1^2+(f'(x))^2\bigr)^{3/2}} = \frac{\bigl|f''(x)\bigr|}{\bigl(1+(f'(x))^2\bigr)^{3/2}}.

Resposta

k=\frac{\bigl|f''\bigr|}{\bigl(1+(f')^2\bigr)^{3/2}}.

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