Calcule a curvatura da função y=x^{3} no ponto (0,0).

Passo 1

O enunciado pede a curvatura da curva definida por y=x^3 no ponto (0,0). Isso faz parte de geometria diferencial de curvas planas, em que usamos derivadas da função para calcular a curvatura.

Passo 2

A fórmula da curvatura \kappa de uma curva dada como y=f(x) é
\kappa(x) \;=\;\frac{\bigl|y''(x)\bigr|}{\bigl(1 + \bigl(y'(x)\bigr)^{2}\bigr)^{3/2}}.
Aqui y'(x) é a derivada primeira e y''(x) a derivada segunda de y em relação a x.

Passo 3

Para y=x^3 temos
y'(x)=3x^2,
y''(x)=6x.

Passo 4

No ponto (0,0) corresponde a x=0. Logo,
y'(0)=3\cdot0^2=0,
y''(0)=6\cdot0=0.

Passo 5

Substituindo na fórmula da curvatura:
\kappa(0)=\frac{\bigl|y''(0)\bigr|}{\bigl(1+(y'(0))^2\bigr)^{3/2}} =\frac{0}{(1+0)^{3/2}}=0.

Resposta

A curvatura de y=x^3 no ponto (0,0) é 0.

Exercícios relacionados