Encontrar a curvatura em um ponto genérico de:
\vec{r}(t)=t \vec{i}+t \vec{j}+\left(1+t^{2}\right) \vec{k},

Passo 1

O enunciado pede a curvatura de uma curva no espaço definida por
\vec{r}(t)=t\,\vec{i}+t\,\vec{j}+(1+t^{2})\,\vec{k}.
Para isso usamos a fórmula da curvatura paramétrica
\kappa(t)=\frac{\bigl\|\vec{r}'(t)\times\vec{r}''(t)\bigr\|}{\|\vec{r}'(t)\|^{3}}.
Logo, precisamos calcular \vec{r}'(t), \vec{r}''(t), o produto vetorial e as normas.

Passo 2

Derivando componente a componente, obtemos
\vec{r}'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(t,t,1+t^{2}\bigr) =\bigl(1,\,1,\,2t\bigr),
\vec{r}''(t)=\frac{d}{dt}\bigl(1,\,1,\,2t\bigr) =\bigl(0,\,0,\,2\bigr).

Passo 3

Calculamos o produto vetorial
\vec{r}'(t)\times\vec{r}''(t) =\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\\\ 1 & 1 & 2t\\\\ 0 & 0 & 2 \end{vmatrix} =\bigl(1\cdot2-2t\cdot0,\;-\,\bigl(1\cdot2-2t\cdot0\bigr),\;1\cdot0-1\cdot0\bigr) =(2,\,-2,\,0).

Passo 4

Agora as normas:
\bigl\|\vec{r}'(t)\times\vec{r}''(t)\bigr\| =\sqrt{2^{2}+(-2)^{2}+0^{2}} =\sqrt{8} =2\sqrt{2},
\|\vec{r}'(t)\| =\sqrt{1^{2}+1^{2}+(2t)^{2}} =\sqrt{2+4t^{2}} =\bigl(2+4t^{2}\bigr)^{1/2}.

Passo 5

Substituindo na fórmula de \kappa:
\kappa(t) =\frac{2\sqrt{2}}{\bigl(2+4t^{2}\bigr)^{3/2}} =\frac{2\sqrt{2}}{\bigl(2(1+2t^{2})\bigr)^{3/2}} =\frac{2\sqrt{2}}{2^{3/2}(1+2t^{2})^{3/2}} =\frac{1}{(1+2t^{2})^{3/2}}.

Resposta

\kappa(t)=\frac{1}{\bigl(1+2t^{2}\bigr)^{3/2}}.

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