Calcule a curvatura da função y=x^{3} no ponto (0,0).

Passo 1

O enunciado pede a curvatura da curva dada por y = x^3 no ponto (0,0). O conteúdo necessário é a fórmula da curvatura para uma função explícita y=f(x):
\kappa(x) = \frac{\bigl|f''(x)\bigr|}{\bigl(1 + [f'(x)]^2\bigr)^{3/2}}.

Passo 2

Calculamos as derivadas primeira e segunda de f(x)=x^3:
f'(x) = 3x^2,
f''(x) = 6x.

Passo 3

Avaliamo-las no ponto x=0, que corresponde a (0,0):
f'(0) = 3\cdot0^2 = 0,
f''(0) = 6\cdot0 = 0.

Passo 4

Substituímos na fórmula da curvatura:
\kappa(0) = \frac{\bigl|f''(0)\bigr|}{\bigl(1 + [f'(0)]^2\bigr)^{3/2}} = \frac{|0|}{(1+0^2)^{3/2}} = 0.

Resposta

A curvatura de y=x^3 no ponto (0,0) é 0.

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