Determine se as sequencias abaixo convergem. Justifique.
A n=\frac{2 n+(-1)^{n} \cdot n}{n+1+(-1)^{n}}

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
A_n = \frac{2n + (-1)^n \cdot n}{\,n + 1 + (-1)^n\,}
e pede para verificar se ela converge quando n \to \infty. Para isso, vamos usar o critério de limites de subsequências: se as subsequências formadas por termos de índice par e de índice ímpar tiverem limites diferentes, a sequência não converge.

Passo 2

Calcular a expressão para n par. Seja n=2k. Então (-1)^n = (-1)^{2k}=1 e
A_{2k} = \frac{2\,(2k) + 1\cdot(2k)}{(2k) + 1 + 1} = \frac{4k + 2k}{2k + 2} = \frac{6k}{2(k+1)} = \frac{3k}{\,k+1\,}\,.
Quando k\to\infty,
\lim_{k\to\infty} A_{2k} = \lim_{k\to\infty} \frac{3k}{k+1} = 3.

Passo 3

Calcular a expressão para n ímpar. Seja n=2k+1. Então (-1)^n = (-1)^{2k+1}=-1 e
A_{2k+1} = \frac{2\,(2k+1) + (-1)\,(2k+1)}{(2k+1) + 1 - 1} = \frac{4k+2 -2k -1}{2k+1} = \frac{2k+1}{2k+1} = 1.
Logo, para todo k, A_{2k+1}=1 e
\lim_{k\to\infty} A_{2k+1} = 1.

Passo 4

Como a subsequência de índices pares converge a 3 e a de índices ímpares converge a 1, temos dois limites diferentes. Portanto, o limite geral de A_n não existe.

Resposta

A sequência \{A_n\} não converge (ela diverge).

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