Encontre
e
. Para quais valores de
a curva é côncava para cima?
Passo 1
O enunciado dá uma curva paramétrica
,
,
com ,
e pede a derivada , a segunda derivada
e os
em que a curva é côncava para cima.
Conteúdo: derivadas de curvas paramétricas. Vamos precisar de ,
e da fórmula
com
e pede a derivada
Conteúdo: derivadas de curvas paramétricas. Vamos precisar de
Passo 2
Calculamos primeiro
Logo, a derivada primeira é
Passo 3
Para a segunda derivada usamos
Fazendo a derivada no numerador por regra do quociente, obtém-se após simplificação
Passo 4
Analisamos o sinal de
No intervalo
temos
e
sempre. Assim o sinal vem de
. Para que
precisamos de
Passo 5
Ou seja, nesses
a curva é côncava para cima.
Resposta
A curva é côncava para cima para