Encontre d y / d x e d^2 y / d x^2. Para quais valores de t a curva é côncava para cima?
x=cos t, y=sen 2 t, 0<t<pi

Passo 1

O enunciado dá uma curva paramétrica
x=cos t,
y=sen 2t,
com 0<t<pi,
e pede a derivada dfracdydx, a segunda derivada dfracd^2ydx^2 e os t em que a curva é côncava para cima.
Conteúdo: derivadas de curvas paramétricas. Vamos precisar de dfracdxdt, dfracdydt e da fórmula
d^2ydx^2 ;=;ddt!l(dydxr)dxdt

Passo 2

Calculamos primeiro
dxdt = ddt(cos t) = -sen t, dydt = ddt(sen 2t) = 2cos 2t
Logo, a derivada primeira é
dydx = dydtdxdt = 2cos 2t-,sen t = -,2cos 2tsen t

Passo 3

Para a segunda derivada usamos
d^2ydx^2 = ddt!l(-2cos2t/sen tr)-sen t
Fazendo a derivada no numerador por regra do quociente, obtém-se após simplificação
d^2ydx^2 = -,2cos t,(2sen^2 t+1)sen^3 t

Passo 4

Analisamos o sinal de
d^2ydx^2 = -,2cos t,(2sen^2 t+1)sen^3 t
No intervalo 0<t<pi temos sen t>0 e 2sen^2 t+1>0 sempre. Assim o sinal vem de -cos t. Para que
dfracd^2ydx^2>0 precisamos de
-cos t>0 Longrightarrow cos t<0

Passo 5

cos t<0 em 0<t<pi ocorre exatamente para
pi2<t<pi
Ou seja, nesses t a curva é côncava para cima.

Resposta

dydx = -,2cos 2tsen t
d^2ydx^2 = -,2cos t,(2sen^2 t+1)sen^3 t
A curva é côncava para cima para pi2<t<pi.

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