Calcule a curvatura k(t) da curva C definida por
r(t)=lang<= t^2, 0, trang<=
Faça isso de duas maneiras: utilizando os itens a) e b) do Teorema 8.1.

Passo 1

A curva é dada por r(t)=⟨t²,0,t⟩ e a gente quer a curvatura κ(t) usando o Teorema 8.1: (a) κ=‖r′×r″‖/‖r′‖³ e (b) κ=‖T′‖/‖r′‖, onde T=r′/‖r′‖. Vamos precisar de r′, r″, produto vetorial e vetor tangente unitário.

Passo 2

Calcule as derivadas:
r'(t)=lang<=2t,0,1rang<=, r''(t)=lang<=2,0,0rang<=

Passo 3

Pela fórmula (a):
kappa=|r'times r''||r'|^3
O produto vetorial é
r'(t)times r''(t)=i&j&k2t&0&12&0&0=lang<=0,2,0rang<=,
daí |r'times r''|=2 e |r'|=raiz4t^2+1. Logo
kappa=2(4t^2+1)^3/2

Passo 4

Agora pela fórmula (b): definimos
T(t)=r'(t)|r'(t)|=llang<=2traiz4t^2+1,0,1raiz4t^2+1rrang<=

Passo 5

Derivando T(t): com D=\sqrt{4t^2+1},
T'(t)=ddtllang<=2tD,0,1Drrang<==1D^3lang<=2,0,-4trang<=,
de modo que
|T'(t)|=2raiz1+4t^2D^3=2DD^3=2D^2

Passo 6

Aplicando kappa=|T'|/|r'|=(2/D^2)/D=2/D^3=2/(4t^2+1)^3/2, que coincide com o resultado da parte (a).

Resposta

kappa(t)=dfrac2(4t^2+1)^3/2

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