Considere a curva C1 definida pela função vetorial r1:[0, infty) V2, onde r1(t)=lang<=(t^2+2) / 3, t^2rang<=. Considere a curva C2 definida pela função vetorial r2: R V2, onde r2(t)=lang<= t, t^3rang<=.
Suponha que o seu professor de Cálculo 1 tenha um Fusca e esteja dando uma voltinha. Suponha que o seu professor de Cálculo 2 tenha uma Ferrari e também esteja dando uma voltinha. Se no instante t (minutos) os professores de Cálculo 1 e 2 ocupam posições cujos vetores associados são r1(t) e r2(t) respectivamente, verifique se haverá uma colisão entre os automóveis. Se sim, determine os instantes e os locais (pontos) de colisão.

Passo 1

Estamos analisando colisões de duas curvas paramétricas, ou seja, queremos saber se existe um instante t em que r1(t) = r2(t). O conteúdo aqui é interseção de curvas vetoriais, e vamos precisar igualar as componentes das funções r1(t) e r2(t).

Passo 2

Primeiro, escrevemos o sistema obtido ao igualar as componentes de r1(t)=lang<= (t^2+2)/3,;t^2rang<= e r2(t)=lang<= t,;t^3rang<=:
t^2+23 = t
$$
t^2 = t^3$$

Passo 3

Da segunda equação t^2 = t^3 fatoramos t^2(t - 1) = 0, o que dá as soluções t=0 ou t=1. Como o domínio de r1 é [0,infty), ambos são candidatos, mas precisamos testar na primeira equação.

Passo 4

Testamos t=0 em (t^2+2)/3 = t:
0^2 + 23 = 23 neq 0,
logo t=0 não funciona. Agora testamos t=1:
1^2 + 23 = 33 = 1,
e também 1^2 = 1^3 confere. Portanto há colisão no instante t=1.

Passo 5

Para achar o ponto de colisão, calculamos r1(1) (ou r2(1)), por exemplo:
$$
r_1(1) = \bigl\langle 1,;1^2\bigr\rangle = (1,1).$$

Resposta

Haverá colisão em t = 1 minuto, no ponto (1,1).

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