Considere a curva
definida pela função vetorial
, onde
. Considere a curva
definida pela função vetorial
, onde
.
Suponha que o seu professor de Cálculo 1 tenha um Fusca e esteja dando uma voltinha. Suponha que o seu professor de Cálculo 2 tenha uma Ferrari e também esteja dando uma voltinha. Se no instante
(minutos) os professores de Cálculo 1 e 2 ocupam posições cujos vetores associados são
e
respectivamente, verifique se haverá uma colisão entre os automóveis. Se sim, determine os instantes e os locais (pontos) de colisão.
Suponha que o seu professor de Cálculo 1 tenha um Fusca e esteja dando uma voltinha. Suponha que o seu professor de Cálculo 2 tenha uma Ferrari e também esteja dando uma voltinha. Se no instante
Passo 1
Estamos analisando colisões de duas curvas paramétricas, ou seja, queremos saber se existe um instante
em que
. O conteúdo aqui é interseção de curvas vetoriais, e vamos precisar igualar as componentes das funções
e
.
Passo 2
Primeiro, escrevemos o sistema obtido ao igualar as componentes de
e
:
$$
t^2 = t^3$$
Passo 3
Da segunda equação
fatoramos
, o que dá as soluções
ou
. Como o domínio de
é
, ambos são candidatos, mas precisamos testar na primeira equação.
Passo 4
Testamos
em
:
logo
e também
confere. Portanto há colisão no instante
.
Passo 5
Para achar o ponto de colisão, calculamos
(ou
), por exemplo:
$$
r_1(1) = \bigl\langle 1,;1^2\bigr\rangle = (1,1).$$
Resposta
Haverá colisão em t = 1 minuto, no ponto (1,1).