Nos Problemas 1-12, ache a solução geral do sistema dado.
Passo 1
O sistema dado é de EDOs lineares de primeira ordem com coeficientes constantes. Precisamos reescrevê-lo em forma matricial e usar autovalores e autovetores para obter a solução geral.
Passo 2
Vamos colocar o sistema na forma , onde
e x = xyz.
Passo 3
Para encontrar os autovalores, montamos o polinômio característico
Agora achamos um autovetor não nulo para cada autovalor resolvendo (A-lambda I)v=0:
— Para lambda=2: resolução leva a y=0 e x=-tfrac45z. Tomando z=5, um autovetor é v1 = (-4,0,5)^T.
— Para lambda=5: obtemos x=-tfrac73y, z=tfrac53y. Com y=3, um autovetor é v2 = (-7,3,5)^T.
— Para lambda=7: obtemos x=-tfrac75y, z=y. Com y=5, um autovetor é v3 = (-7,5,5)^T.
Passo 5
A solução geral do sistema é combinação linear dos vetores próprios multiplicados por e^lambda t: