Nos Problemas 1-12, ache a solução geral do sistema dado.
d xd t=2 x-7 y
d yd t=5 x+10 y+4 z
d zd t= 5 y+2 z

Passo 1

O sistema dado é de EDOs lineares de primeira ordem com coeficientes constantes. Precisamos reescrevê-lo em forma matricial e usar autovalores e autovetores para obter a solução geral.

Passo 2

Vamos colocar o sistema na forma x' = Ax, onde
A = 2 & -7 & 05 & 10 & 40 & 5 & 2,
e x = xyz.

Passo 3

Para encontrar os autovalores, montamos o polinômio característico
det(A - lambda I) = det2-lambda & -7 & 05 & 10-lambda & 40 & 5 & 2-lambda = 0
Calculando o determinante, obtemos
(2-lambda)l((10-lambda)(2-lambda)-20r)+35(2-lambda)= (2-lambda)(lambda^2-12lambda+35)=0
Desse modo, os autovalores são lambda=2,5,7.

Passo 4

Agora achamos um autovetor não nulo para cada autovalor resolvendo (A-lambda I)v=0:
— Para lambda=2: resolução leva a y=0 e x=-tfrac45z. Tomando z=5, um autovetor é v1 = (-4,0,5)^T.
— Para lambda=5: obtemos x=-tfrac73y, z=tfrac53y. Com y=3, um autovetor é v2 = (-7,3,5)^T.
— Para lambda=7: obtemos x=-tfrac75y, z=y. Com y=5, um autovetor é v3 = (-7,5,5)^T.

Passo 5

A solução geral do sistema é combinação linear dos vetores próprios multiplicados por e^lambda t:
x(t)=C1v1e^2t+C2v2e^5t+C3v3e^7t,
onde C1,C2,C3 são constantes arbitrárias.

Resposta

A solução geral é
x(t) y(t) z(t) = C1-4 0 5e^2t + C2-7 3 5e^5t + C3-7 5 5e^7t,
com C1,C2,C3 constantes arbitrárias.

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