Nos Problemas 1-12, ache a solução geral do sistema dado.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral do sistema de EDOs lineares de primeira ordem em t definido por
Vamos usar a técnica de eliminar uma variável e obter uma EDO de segunda ordem para x(t).
Passo 2
Começamos derivando a primeira equação em relação a t para achar
:
Substituindo
pela segunda equação do sistema:
Isso nos dá a EDO de segunda ordem
Passo 3
Resolvendo
, reconhecemos que a equação característica é
, cujas raízes são
e
. Logo, a solução geral para
é
onde
e
são constantes de integração.
Passo 4
Agora encontramos
usando a relação
. Primeiro computamos
:
Então
Passo 5
Assim, a solução geral do sistema é dada por
onde
e
são constantes arbitrárias.
Resposta
(x(t),y(t))=(C_1 e^{4t}+C_2 e^{-4t},;2C_1 e^{4t}-2C_2 e^{-4t}), com C_1,C_2 constantes.