Nos Problemas 1-12, ache a solução geral do sistema dado.
d xd t=2 y
d yd t=8 x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema de EDOs lineares de primeira ordem em t definido por
dxdt = 2y,
dydt = 8x
Vamos usar a técnica de eliminar uma variável e obter uma EDO de segunda ordem para x(t).

Passo 2

Começamos derivando a primeira equação em relação a t para achar x''(t):
d^2xdt^2 = 2dydt
Substituindo dy/dt pela segunda equação do sistema:
d^2xdt^2 = 2 cdot (8x) = 16x
Isso nos dá a EDO de segunda ordem
x'' - 16x = 0

Passo 3

Resolvendo x'' - 16x = 0, reconhecemos que a equação característica é r^2 - 16 = 0, cujas raízes são r = 4 e r = -4. Logo, a solução geral para x(t) é
x(t) = C1 e^4t + C2 e^-4t,
onde C1 e C2 são constantes de integração.

Passo 4

Agora encontramos y(t) usando a relação dx/dt = 2y. Primeiro computamos dx/dt:
dxdt = 4C1 e^4t - 4C2 e^-4t
Então
y(t) = 12dxdt = 2C1 e^4t - 2C2 e^-4t

Passo 5

Assim, a solução geral do sistema é dada por
x(t) = C1 e^4t + C2 e^-4t,
y(t) = 2C1 e^4t - 2C2 e^-4t,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

(x(t),y(t))=(C_1 e^{4t}+C_2 e^{-4t},;2C_1 e^{4t}-2C_2 e^{-4t}), com C_1,C_2 constantes.

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