Esboce a curva descrita por cada uma das seguintes equações em coordenadas polares.
r=-3 \cos \theta

Passo 1

O enunciado pede: esboçar a curva dada em coordenadas polares pela equação r=-3\cos\theta.
Informações dadas:
  • A relação entre a distância radial r e o ângulo polar \theta é r=-3\cos\theta.
  • Não há figura adicional. O objetivo é identificar a forma da curva e indicar como desenhá-la.
O que vamos encontrar passo a passo: que tipo de curva isso representa em coordenadas cartesianas, onde ela está localizada, interceptos importantes, como o sinal negativo de r afeta o esboço e alguns pontos para guiar o desenho.

Passo 2

Breve revisão útil (o que é polar e como traduzir para cartesiano).
  • Em coordenadas polares, cada ponto é dado por (r,\theta), onde r é a distância ao polo (origem) e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x positivo.
  • A conversão para coordenadas cartesianas é
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
Essas fórmulas permitem transformar a equação polar em uma equação em x e y, que costuma facilitar a identificação da curva.

Passo 3

Converter r=-3\cos\theta para coordenadas cartesianas.
Multiplique os dois lados por r (o que é legítimo, é só uma manipulação algébrica que usa r^2=x^2+y^2 e r\cos\theta=x):
r^2 = -3r\cos\theta.
Agora substitui r^2 = x^2+y^2 e r\cos\theta = x:
x^2 + y^2 = -3x.
Reescrevendo para completar o quadrado:
x^2 + 3x + y^2 = 0
\bigl(x + \tfrac{3}{2}\bigr)^2 - \bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)^2 + y^2 = 0
\bigl(x + \tfrac{3}{2}\bigr)^2 + y^2 = \bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)^2.

Passo 4

Interpretação da equação cartesiana obtida.
A última equação é a de um círculo:
  • centro em \bigl(-\tfrac{3}{2},0\bigr),
  • raio \tfrac{3}{2}.
Portanto a curva é exatamente um círculo de raio \tfrac{3}{2} cujo centro está sobre o eixo x à esquerda da origem, em x=-\tfrac{3}{2}.

Passo 5

Verificação com interceptos e pontos notáveis (úteis para esboçar).
  • Intercepto com o eixo x (ou seja y=0): da equação x^2 = -3x vem x(x+3)=0, logo x=0 ou x=-3. Então o círculo passa por (0,0) e por (-3,0). Esses dois pontos são extremos do diâmetro horizontal de comprimento 3.
  • Intercepto com eixo y: impondo x=0 obtemos y=0 só, então o único ponto do eixo y é a origem.
    Esses resultados conferem com o centro \bigl(-\tfrac{3}{2},0\bigr) e raio \tfrac{3}{2} (diâmetro = 3).

Passo 6

Entendendo o papel de r negativo em polar (muito importante para o desenho):
  • Quando \cos\theta < 0 (ou seja \theta em \bigl(\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}\bigr)), o produto -3\cos\theta é positivo, então r\ge0 e o ponto está na direção \theta a distância r.
  • Quando \cos\theta > 0 (ou seja \theta em \bigl(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr)), a RHS é negativa e temos r<0. Polarmente, r<0 e ângulo \theta equivale a usar r'=-r>0 com ângulo \theta+\pi. Ou seja, o ponto fica na direção oposta.
  • Conclusão prática: a equação polar traça o mesmo círculo independentemente do sinal de r; para alguns \theta a posição é obtida pelo raio positivo na direção \theta, para outros é obtida invertendo a direção por \pi. O conjunto de pontos é o círculo já encontrado em cartesiano.

Passo 7

Alguns valores de referência para ajudar a esboçar:
  • \theta = 0: \cos 0 = 1 então r=-3. Isso corresponde ao ponto com r=3 e ângulo \pi, ou seja (-3,0).
  • \theta = \tfrac{\pi}{2}: \cos\tfrac{\pi}{2}=0 então r=0 (origem (0,0)).
  • \theta = \pi: \cos\pi=-1 então r=3, ponto (-3,0).
  • \theta = \tfrac{3\pi}{2}: retorna r=0 (origem).
  • \theta=\tfrac{3\pi}{4}: \cos\tfrac{3\pi}{4}=-\tfrac{\sqrt{2}}{2} então r=\tfrac{3\sqrt{2}}{2}; o ponto está na direção \tfrac{3\pi}{4} a essa distância — fica na parte esquerda superior do círculo.
Esses pontos mostram o porquê do círculo estar todo à esquerda do eixo y (ou tangente à origem).

Passo 8

Como esboçar na prática (passo a passo para a prova):
  1. Desenhe o eixo x e y.
  2. Marque o centro em \bigl(-\tfrac{3}{2},0\bigr) e desenhe um círculo de raio \tfrac{3}{2}. Uma forma prática: marque os pontos (0,0) e (-3,0) — são extremidades do diâmetro horizontal — e desenhe o círculo com esses dois pontos como extremos do diâmetro.
  3. Se quiser confirmar com polar: para ângulos entre \tfrac{\pi}{2} e \tfrac{3\pi}{2} plote r=-3\cos\theta\ge0 na direção \theta; para ângulos entre -\tfrac{\pi}{2} e \tfrac{\pi}{2} interprete r<0 como ponto na direção \theta+\pi. Mas não é necessário fazer isso se já se reconheceu o círculo via conversão cartesiana.
Dica de prova rápida: reconhecer padrões do tipo r = 2a\cos\theta ou r = 2a\sin\theta. Aqui r=-3\cos\theta é do tipo r=2a\cos\theta com 2a=-3, o que leva ao mesmo círculo centrado em \bigl(a,0\bigr) com raio |a|.

Resposta

A curva é o círculo \bigl(x+\tfrac{3}{2}\bigr)^2+y^2=\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)^2, isto é, centro em \bigl(-\tfrac{3}{2},0\bigr) e raio \tfrac{3}{2}.

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