Esboce a curva descrita por cada uma das seguintes equações em coordenadas polares.
Passo 1
O enunciado pede: esboçar a curva dada em coordenadas polares pela equação
.
Informações dadas:
- A relação entre a distância radial
e o ângulo polar é . - Não há figura adicional. O objetivo é identificar a forma da curva e indicar como desenhá-la.
O que vamos encontrar passo a passo: que tipo de curva isso representa em coordenadas cartesianas, onde ela está localizada, interceptos importantes, como o sinal negativo de
afeta o esboço e alguns pontos para guiar o desenho.
Passo 2
Breve revisão útil (o que é polar e como traduzir para cartesiano).
- Em coordenadas polares, cada ponto é dado por
, onde é a distância ao polo (origem) e é o ângulo medido a partir do eixo positivo. - A conversão para coordenadas cartesianas é
Essas fórmulas permitem transformar a equação polar em uma equação em
e
, que costuma facilitar a identificação da curva.
Passo 3
Converter
para coordenadas cartesianas.
Multiplique os dois lados por (o que é legítimo, é só uma manipulação algébrica que usa
e
):
Multiplique os dois lados por
Agora substitui
e
:
Reescrevendo para completar o quadrado:
Passo 4
Interpretação da equação cartesiana obtida.
A última equação é a de um círculo:
A última equação é a de um círculo:
- centro em
, - raio
.
Portanto a curva é exatamente um círculo de raio
cujo centro está sobre o eixo
à esquerda da origem, em
.
Passo 5
Verificação com interceptos e pontos notáveis (úteis para esboçar).
- Intercepto com o eixo
(ou seja ): da equação vem , logo ou . Então o círculo passa por e por . Esses dois pontos são extremos do diâmetro horizontal de comprimento . - Intercepto com eixo
: impondo obtemos só, então o único ponto do eixo é a origem.
Esses resultados conferem com o centroe raio (diâmetro = ).
Passo 6
Entendendo o papel de
negativo em polar (muito importante para o desenho):
- Quando
(ou seja em ), o produto é positivo, então e o ponto está na direção a distância . - Quando
(ou seja em ), a RHS é negativa e temos . Polarmente, e ângulo equivale a usar com ângulo . Ou seja, o ponto fica na direção oposta. - Conclusão prática: a equação polar traça o mesmo círculo independentemente do sinal de
; para alguns a posição é obtida pelo raio positivo na direção , para outros é obtida invertendo a direção por . O conjunto de pontos é o círculo já encontrado em cartesiano.
Passo 7
Alguns valores de referência para ajudar a esboçar:
-
: então . Isso corresponde ao ponto com e ângulo , ou seja . -
: então (origem ). -
: então , ponto . -
: retorna (origem). -
: então ; o ponto está na direção a essa distância — fica na parte esquerda superior do círculo.
Esses pontos mostram o porquê do círculo estar todo à esquerda do eixo
(ou tangente à origem).
Passo 8
Como esboçar na prática (passo a passo para a prova):
- Desenhe o eixo
e . - Marque o centro em
e desenhe um círculo de raio . Uma forma prática: marque os pontos e — são extremidades do diâmetro horizontal — e desenhe o círculo com esses dois pontos como extremos do diâmetro. - Se quiser confirmar com polar: para ângulos entre
e plote na direção ; para ângulos entre e interprete como ponto na direção . Mas não é necessário fazer isso se já se reconheceu o círculo via conversão cartesiana.
Dica de prova rápida: reconhecer padrões do tipo
ou
. Aqui
é do tipo
com
, o que leva ao mesmo círculo centrado em
com raio
.
Resposta
A curva é o círculo
, isto é, centro em
e raio
.