Calcule a curvatura e o raio de curvatura das seguintes curvas: ( 3,0 pontos)
© gamma(t)=(t, t^3).

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra calcular a curvatura e o raio de curvatura da curva gamma(t)=(t,t^3). Esse problema é de geometria diferencial no plano, e vamos precisar da fórmula da curvatura para curvas paramétricas e de derivadas de primeira e segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, a gente calcula as derivadas de x(t)=t e y(t)=t^3:
x'(t)=1,
x''(t)=0,
y'(t)=3t^2,
y''(t)=6t

Passo 3

Agora, usamos a fórmula da curvatura para curvas planas:
kappa(t)=|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)|[x'(t)^2+y'(t)^2]^3/2
Substituindo as derivadas que encontramos:
kappa(t)=|1cdot6t - 3t^2cdot0|(1^2+(3t^2)^2)^3/2=6|t|(1+9t^4)^3/2

Passo 4

Por fim, o raio de curvatura rho(t) é simplesmente o inverso da curvatura:
rho(t)=1kappa(t)=(1+9t^4)^3/26|t|

Resposta

Curvatura: kappa(t)=6|t|(1+9t^4)^3/2. Raio de curvatura: rho(t)=(1+9t^4)^3/26|t|.

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