Mostre que a equação diferencial dada tem um ponto singular regular em
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial do tipo:
E queremos mostrar que o ponto
é um ponto singular regular dessa equação. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre pontos ordinários e singulares em equações diferenciais lineares, mas não se preocupa que vou explicar tudo passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear de segunda ordem:
No nosso caso, comparando com a equação dada:
Aqui, não temos termo com
, então
.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se
é um ponto ordinário ou um ponto singular. Um ponto é ordinário se
. Vamos ver:
Como
, o ponto
é um ponto singular. Mas e a gente quer saber se esse ponto singular é regular ou irregular.
Passo 4
Para determinar se é um ponto singular regular, a gente verifica duas condições:
-
deve ter, no máximo, um pole de primeira ordem em . -
deve ter, no máximo, um pole de segunda ordem em .
Vamos calcular essas frações:
Passo 5
Analisando
: Como é constante, não tem problemas, está bem.
Agora, olhando
:
Aqui, vemos que temos termos com
no denominador. O termo
tem uma singularidade de primeira ordem e
tem uma singularidade de segunda ordem.
Passo 6
De acordo com as condições para um ponto singular ser regular:
-
não apresenta singularidade ou tem no máximo uma singularidade de primeira ordem. No nosso caso, é zero, então está certo. -
pode ter, no máximo, uma singularidade de segunda ordem. No nosso caso, temos , que é uma singularidade de segunda ordem, então também está dentro do permitido.
Resposta
Portanto, a equação diferencial dada possui um ponto singular regular em
.