Mostre que a equação diferencial dada tem um ponto singular regular em x0.
x^2 y^prime prime-(x-29) y=0 x0=0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial do tipo:
x^2 y'' - (x - 29) y = 0
E queremos mostrar que o ponto x0 = 0 é um ponto singular regular dessa equação. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre pontos ordinários e singulares em equações diferenciais lineares, mas não se preocupa que vou explicar tudo passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear de segunda ordem:
P(x) y'' + Q(x) y' + R(x) y = 0
No nosso caso, comparando com a equação dada:
P(x) = x^2, Q(x) = 0, R(x) = -(x - 29)
Aqui, não temos termo com y', então Q(x) = 0.

Passo 3

Agora, precisamos verificar se x0 = 0 é um ponto ordinário ou um ponto singular. Um ponto é ordinário se P(x0) neq 0. Vamos ver:
P(0) = 0^2 = 0
Como P(0) = 0, o ponto x0 = 0 é um ponto singular. Mas e a gente quer saber se esse ponto singular é regular ou irregular.

Passo 4

Para determinar se é um ponto singular regular, a gente verifica duas condições:
  1. Q(x)P(x) deve ter, no máximo, um pole de primeira ordem em x0.
  2. R(x)P(x) deve ter, no máximo, um pole de segunda ordem em x0.
Vamos calcular essas frações:
Q(x)P(x) = 0x^2 = 0
R(x)P(x) = -(x - 29)x^2 = -x - 29x^2

Passo 5

Analisando Q(x)P(x) = 0: Como é constante, não tem problemas, está bem.
Agora, olhando R(x)P(x):
-x - 29x^2 = -(1x - 29x^2)
Aqui, vemos que temos termos com x no denominador. O termo 1x tem uma singularidade de primeira ordem e 29x^2 tem uma singularidade de segunda ordem.

Passo 6

De acordo com as condições para um ponto singular ser regular:
  • Q(x)P(x) não apresenta singularidade ou tem no máximo uma singularidade de primeira ordem. No nosso caso, é zero, então está certo.
  • R(x)P(x) pode ter, no máximo, uma singularidade de segunda ordem. No nosso caso, temos 29x^2, que é uma singularidade de segunda ordem, então também está dentro do permitido.

Resposta

Portanto, a equação diferencial dada possui um ponto singular regular em x0 = 0.

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