Ealcule o comprimento do arco da parábola y^2=x de (0,0) até (1,1).

Passo 1

Beleza, vamos calcular o comprimento do arco da parábola $ y^{2} = x $ que vai do ponto y^2 = x até (0,0). Para isso, vamos usar o cálculo de integral para encontrar o comprimento de uma curva. Precisamos saber um pouco sobre o que é uma integral e como ela pode nos ajudar a medir comprimentos de curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para o comprimento de um arco de uma curva definida por $ y = f(x) $ entre $ x = a $ e $ x = b $. A fórmula é:
y = f(x)
Aqui, $ \frac{dy}{dx} $ é a derivada da função $ y $ em relação a $ x $, e ela nos diz a inclinação da curva em cada ponto.

Passo 3

No nosso caso, a equação da parábola é $ y^{2} = x $. Para usarmos a fórmula, precisamos primeiro expressar $ y $ em função de $ x $. Vamos resolver para $ y $:
y^2 = x

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada $ \frac{dy}{dx} $:
dydx

Passo 5

Substituindo $ \frac{dy}{dx} $ na fórmula do comprimento do arco, temos:
dydx

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
raiz1 + 14x = raiz4x + 14x = raiz4x + 12raizx

Passo 7

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição para simplificar. Vamos deixar $ u = 4x + 1 $, então $ du = 4 , dx $ ou $ dx = \frac{du}{4} $. Também ajustamos os limites de integração:
  • Quando $ x = 0 $, $ u = 1 $
  • Quando $ x = 1 $, $ u = 5 $
Substituindo na integral:
u = 4x + 1

Passo 8

Simplificando a expressão:
raizu - 14 = raizu - 12
Então:
L = integral1^5 raizu2 cdot raizu - 12 cdot du4 = integral1^5 raizuraizu - 1 cdot du4

Passo 9

Agora, resolvemos a integral:
L = 14 integral1^5 raizuraizu - 1 , du
Fazendo uma nova substituição $ v = u - 1 $, então $ du = dv $ e os limites ficam de $ v = 0 $ a $ v = 4 $. A integral se torna:
v = u - 1

Passo 10

Simplificando a expressão dentro da raiz:
raizv + 1v = raiz1 + 1v = raizv + 1raizv
Integrando:
L = 14 integral0^4 raizv + 1raizv , dv
Essa integral pode ser resolvida usando métodos de integração mais avançados, resultando em:
L = 14 [ 2raizv(v + 1) + ln(raizv + raizv + 1) ]0^4

Resposta

Após calcular, o comprimento do arco da parábola $ y^{2} = x $ de y^2 = x até (0,0) é aproximadamente $ L \approx 1.478 $ unidades.

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