Ealcule o comprimento do arco da parábola
de
até
.
Passo 1
Beleza, vamos calcular o comprimento do arco da parábola $ y^{2} = x $ que vai do ponto
até
. Para isso, vamos usar o cálculo de integral para encontrar o comprimento de uma curva. Precisamos saber um pouco sobre o que é uma integral e como ela pode nos ajudar a medir comprimentos de curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula para o comprimento de um arco de uma curva definida por $ y = f(x) $ entre $ x = a $ e $ x = b $. A fórmula é:
Aqui, $ \frac{dy}{dx} $ é a derivada da função $ y $ em relação a $ x $, e ela nos diz a inclinação da curva em cada ponto.
Passo 3
No nosso caso, a equação da parábola é $ y^{2} = x $. Para usarmos a fórmula, precisamos primeiro expressar $ y $ em função de $ x $. Vamos resolver para $ y $:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada $ \frac{dy}{dx} $:
Passo 5
Substituindo $ \frac{dy}{dx} $ na fórmula do comprimento do arco, temos:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 7
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição para simplificar. Vamos deixar $ u = 4x + 1 $, então $ du = 4 , dx $ ou $ dx = \frac{du}{4} $. Também ajustamos os limites de integração:
- Quando $ x = 0 $, $ u = 1 $
- Quando $ x = 1 $, $ u = 5 $
Substituindo na integral:
Passo 8
Simplificando a expressão:
Então:
Passo 9
Agora, resolvemos a integral:
Fazendo uma nova substituição $ v = u - 1 $, então $ du = dv $ e os limites ficam de $ v = 0 $ a $ v = 4 $. A integral se torna:
Passo 10
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Integrando:
Essa integral pode ser resolvida usando métodos de integração mais avançados, resultando em:
Resposta
Após calcular, o comprimento do arco da parábola $ y^{2} = x $ de
até
é aproximadamente $ L \approx 1.478 $ unidades.