Calcule a curvatura e o raio de curvatura das seguintes curvas: ( 3,0 pontos)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a curvatura e o raio de curvatura de três curvas diferentes. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas de funções vetoriais e fórmulas para curvatura.
Passo 2
A fórmula para calcular a curvatura
de uma curva parametrizada por
é:
O raio de curvatura
é o inverso da curvatura:
Passo 3
Vamos resolver a parte (a):
Primeiro, calculamos as derivadas necessárias.
Passo 4
Calculando as derivadas de
e
:
Passo 5
Substituindo na fórmula da curvatura:
Simplificando o numerador:
Simplificando o denominador:
Passo 6
Portanto, a curvatura fica:
Simplificando mais:
E o raio de curvatura é:
Passo 7
Agora, vamos resolver a parte (b):
Primeiro, calculamos as derivadas.
Passo 8
Calculando as derivadas de
e
:
Passo 9
Substituindo na fórmula da curvatura:
Simplificando o numerador:
Simplificando o denominador:
Passo 10
Portanto, a curvatura fica:
E o raio de curvatura é:
Passo 11
Finalmente, vamos resolver a parte ©:
Primeiro, calculamos as derivadas.
Passo 12
Calculando as derivadas de
e
:
Passo 13
Substituindo na fórmula da curvatura:
Passo 14
O raio de curvatura é então:
Resposta
(a) Curvatura:
, Raio de Curvatura:
(b) Curvatura:
, Raio de Curvatura:
© Curvatura:
, Raio de Curvatura: