Calcule a curvatura e o raio de curvatura das seguintes curvas: ( 3,0 pontos)
l (a) gamma(t)=(r t-r sen t, r-r cos t), r>0 ; (b) gamma(t)=(e^t cos t, e^prime sen t) ; (c) gamma(t)=(t, t^3)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a curvatura e o raio de curvatura de três curvas diferentes. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas de funções vetoriais e fórmulas para curvatura.

Passo 2

A fórmula para calcular a curvatura kappa(t) de uma curva parametrizada por gamma(t) = (x(t), y(t)) é:
kappa(t) = |x'(t) y''(t) - y'(t) x''(t)|( [x'(t)]^2 + [y'(t)]^2 )^3/2
O raio de curvatura R(t) é o inverso da curvatura:
R(t) = 1kappa(t)

Passo 3

Vamos resolver a parte (a):
gamma(t) = (r t - r sin t, r - r cos t), r > 0
Primeiro, calculamos as derivadas necessárias.

Passo 4

Calculando as derivadas de x(t) e y(t):
x(t) = r t - r sin t
x'(t) = r - r cos t
x''(t) = r sin t
y(t) = r - r cos t
y'(t) = r sin t
y''(t) = r cos t

Passo 5

Substituindo na fórmula da curvatura:
kappa(t) = |(r - r cos t) cdot r cos t - (r sin t) cdot r sin t|( (r - r cos t)^2 + (r sin t)^2 )^3/2
Simplificando o numerador:
|r^2 cos t - r^2 cos^2 t - r^2 sin^2 t| = |r^2 (cos t - cos^2 t - sin^2 t)|
= |r^2 (cos t - 1)| (pois cos^2 t + sin^2 t = 1)
Simplificando o denominador:
( r^2 (1 - 2 cos t + cos^2 t + sin^2 t) )^3/2 = ( 2 r^2 (1 - cos t) )^3/2 = 2^3/2 r^3 (1 - cos t)^3/2

Passo 6

Portanto, a curvatura fica:
Simplificando mais:
kappa(t) = r^2 |1 - cos t|2^3/2 r^3 (1 - cos t)^3/2 = 12^3/2 r (1 - cos t)^1/2
E o raio de curvatura é:
kappa(t) = 14 r |sin(t/2)|

Passo 7

Agora, vamos resolver a parte (b):
gamma(t) = (e^t cos t, e^t sin t)
Primeiro, calculamos as derivadas.

Passo 8

Calculando as derivadas de x(t) e y(t):
x(t) = e^t cos t
x'(t) = e^t cos t - e^t sin t
x''(t) = e^t (cos t - 2 sin t)
y(t) = e^t sin t
y'(t) = e^t sin t + e^t cos t
y''(t) = e^t (2 cos t)

Passo 9

Substituindo na fórmula da curvatura:
kappa(t) = |(e^t cos t - e^t sin t) cdot 2 e^t cos t - (e^t sin t + e^t cos t) cdot (-2 e^t sin t)|( (e^t cos t - e^t sin t)^2 + (e^t sin t + e^t cos t)^2 )^3/2
Simplificando o numerador:
|2 e^2t cos^2 t - 2 e^2t sin^2 t + 2 e^2t sin^2 t - 2 e^2t sin t cos t| = |2 e^2t cos^2 t - 2 e^2t sin t cos t|
Simplificando o denominador:
( e^2t (cos t - sin t)^2 + e^2t (sin t + cos t)^2 )^3/2 = ( 2 e^2t (cos^2 t + sin^2 t) )^3/2 = (2 e^2t)^3/2 = 2^3/2 e^3t

Passo 10

Portanto, a curvatura fica:
E o raio de curvatura é:
kappa(t) = 2 e^2t |cos t (cos t - sin t)|2^3/2 e^3t = |cos t (cos t - sin t)|raiz2 e^t

Passo 11

Finalmente, vamos resolver a parte ©:
gamma(t) = (t, t^3)
Primeiro, calculamos as derivadas.

Passo 12

Calculando as derivadas de x(t) e y(t):
x(t) = t
x'(t) = 1
x''(t) = 0
y(t) = t^3
y'(t) = 3 t^2
y''(t) = 6 t

Passo 13

Substituindo na fórmula da curvatura:

Passo 14

O raio de curvatura é então:
R(t) = 1kappa(t) = (1 + 9 t^4)^3/26 |t|

Resposta

(a) Curvatura: kappa(t) = dfrac14 r |sin(t/2)|, Raio de Curvatura: R(t) = 4 r |sin(t/2)|
(b) Curvatura: kappa(t) = dfrac|cos t (cos t - sin t)|raiz2 e^t, Raio de Curvatura: R(t) = dfracraiz2 e^t|cos t (cos t - sin t)|
© Curvatura: kappa(t) = dfrac6 |t|(1 + 9 t^4)^3/2, Raio de Curvatura: R(t) = dfrac(1 + 9 t^4)^3/26 |t|

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