Calcule a curvatura e a torcão das seguintes curvas
\beta(\mathrm{t})=\left(\frac{1}{3}(1+\mathrm{t})^{3 / 2}, \frac{1}{3}(1-\mathrm{t})^{3 / 2}, \frac{\mathrm{t}}{\sqrt{2}}\right)

Passo 1

O enunciado fornece a curva
\beta(t)=\left(\frac{1}{3}(1+t)^{3/2},\;\frac{1}{3}(1-t)^{3/2},\;\frac{t}{\sqrt{2}}\right)
e pede para calcular a curvatura e a torção dessa curva, isto é:
  • a curvatura \kappa(t);
  • a torção \tau(t).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A curva está no espaço tridimensional com parâmetro t.
  • As componentes da curva são funções explícitas de t.

Passo 2

Lembrete das fórmulas que vou usar (explicando o que cada símbolo significa):
  • A velocidade é \beta'(t) e a aceleração é \beta''(t). A terceira derivada é \beta'''(t).
  • Norma de um vetor \mathbf{v} é \|\mathbf{v}\|.
  • Produto vetorial entre \mathbf{u} e \mathbf{v} é \mathbf{u}\times\mathbf{v}.
  • Produto escalar entre \mathbf{u} e \mathbf{v} é \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}.
Fórmulas para curva no espaço:
  • Curvatura:
\kappa(t)=\frac{\|\beta'(t)\times\beta''(t)\|}{\|\beta'(t)\|^{3}}.
Aqui \kappa(t) mede o quanto a curva está “curvando” no espaço; precisa da velocidade e da aceleração.
  • Torção:
\tau(t)=\frac{(\beta'(t)\times\beta''(t))\cdot\beta'''(t)}{\|\beta'(t)\times\beta''(t)\|^{2}}.
A torção \tau(t) mede o quanto a curva sai do plano de curvatura (como ela “torce” no espaço).
Vou calcular \beta', \beta'', \beta''', depois \beta'\times\beta'', suas normas e o produto escalar necessário.

Passo 3

Calcular as derivadas primeiras, segundas e terceiras componente a componente (explicando as derivadas):
  • Para x(t)=\dfrac{1}{3}(1+t)^{3/2}:
x'(t)=\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{2}(1+t)^{1/2}=\frac{1}{2}(1+t)^{1/2},
x''(t)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}(1+t)^{-1/2}=\frac{1}{4}(1+t)^{-1/2},
x'''(t)=\frac{1}{4}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)(1+t)^{-3/2}=-\frac{1}{8}(1+t)^{-3/2}.
  • Para y(t)=\dfrac{1}{3}(1-t)^{3/2}:
y'(t)=\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{2}(1-t)^{1/2}\cdot(-1)=-\frac{1}{2}(1-t)^{1/2},
y''(t)=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}(1-t)^{-1/2}\cdot(-1)=\frac{1}{4}(1-t)^{-1/2},
y'''(t)=\frac{1}{4}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)(1-t)^{-3/2}\cdot(-1)=\frac{1}{8}(1-t)^{-3/2}.
  • Para z(t)=\dfrac{t}{\sqrt{2}}:
z'(t)=\frac{1}{\sqrt{2}},\qquad z''(t)=0,\qquad z'''(t)=0.
Portanto, escrevendo vetorialmente:
\beta'(t)=\left(\frac{1}{2}(1+t)^{1/2},\; -\frac{1}{2}(1-t)^{1/2},\; \frac{1}{\sqrt{2}}\right),
\beta''(t)=\left(\frac{1}{4}(1+t)^{-1/2},\; \frac{1}{4}(1-t)^{-1/2},\; 0\right),
\beta'''(t)=\left(-\frac{1}{8}(1+t)^{-3/2},\; \frac{1}{8}(1-t)^{-3/2},\; 0\right).

Passo 4

Calcular a norma de \beta'(t) (velocidade) e notar uma simplificação útil:
\|\beta'(t)\|^{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}(1+t)+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}(1-t)+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}.
Calcule cada termo:
\left(\frac{1}{2}\right)^{2}(1+t)=\frac{1}{4}(1+t),\qquad \left(\frac{1}{2}\right)^{2}(1-t)=\frac{1}{4}(1-t),\qquad \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}=\frac{1}{2}.
Somando:
\|\beta'(t)\|^{2}=\frac{1}{4}(1+t)+\frac{1}{4}(1-t)+\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\cdot 2+\frac{1}{2}=1.
Logo
\|\beta'(t)\|=1.
Isto significa que a curva já está parametrizada por comprimento de arco (velocidade unitária). Isso simplifica a fórmula da curvatura para
\kappa(t)=\|\beta'(t)\times\beta''(t)\|.

Passo 5

Calcular o produto vetorial \beta'(t)\times\beta''(t). Usando a regra padrão para determinante:
\beta'(t)\times\beta''(t)= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ \frac{1}{2}(1+t)^{1/2} & -\frac{1}{2}(1-t)^{1/2} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[4pt] \frac{1}{4}(1+t)^{-1/2} & \frac{1}{4}(1-t)^{-1/2} & 0 \end{vmatrix}.
Componentes (calculei cada uma cuidadosamente):
(\beta'\times\beta'')_{1}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{4}(1-t)^{-1/2}=-\frac{1}{4\sqrt{2}}(1-t)^{-1/2},
(\beta'\times\beta'')_{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{4}(1+t)^{-1/2}=\frac{1}{4\sqrt{2}}(1+t)^{-1/2},
(\beta'\times\beta'')_{3}=\frac{1}{2}(1+t)^{1/2}\cdot\frac{1}{4}(1-t)^{-1/2}-\left(-\frac{1}{2}(1-t)^{1/2}\right)\cdot\frac{1}{4}(1+t)^{-1/2}.
Simplificando a terceira componente:
(\beta'\times\beta'')_{3}=\frac{1}{8}\Big((1+t)^{1/2}(1-t)^{-1/2}+(1-t)^{1/2}(1+t)^{-1/2}\Big).]

Passo 6

Calcular a norma de \beta'(t)\times\beta''(t). Primeiro somo os quadrados das componentes:
  • Quadrado das duas primeiras componentes:
\left(-\frac{1}{4\sqrt{2}}(1-t)^{-1/2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{4\sqrt{2}}(1+t)^{-1/2}\right)^{2} =\frac{1}{32}\left(\frac{1}{1-t}+\frac{1}{1+t}\right).
Note que
\frac{1}{1-t}+\frac{1}{1+t}=\frac{(1+t)+(1-t)}{1-t^{2}}=\frac{2}{1-t^{2}},
logo a soma é
\frac{1}{32}\cdot\frac{2}{1-t^{2}}=\frac{1}{16}\cdot\frac{1}{1-t^{2}}.
  • Quadrado da terceira componente: primeiro observe a identidade útil. Se
A=\sqrt{\frac{1+t}{1-t}},
então a terceira componente é \dfrac{1}{8}(A+1/A) e
\left(\frac{1}{8}(A+1/A)\right)^{2}=\frac{1}{64}\left(A^{2}+2+\frac{1}{A^{2}}\right).
Mas
A^{2}+ \frac{1}{A^{2}}=\frac{1+t}{1-t}+\frac{1-t}{1+t}=\frac{(1+t)^{2}+(1-t)^{2}}{1-t^{2}}=\frac{2(1+t^{2})}{1-t^{2}}.
Logo
\left(\frac{1}{8}(A+1/A)\right)^{2}=\frac{1}{64}\left(\frac{2(1+t^{2})}{1-t^{2}}+2\right) =\frac{1}{64}\cdot\frac{4}{1-t^{2}}=\frac{1}{16}\cdot\frac{1}{1-t^{2}}.
Surpreendentemente, o quadrado da terceira componente é igual à soma dos quadrados das duas primeiras.
  • Portanto a norma ao quadrado é
\|\beta'\times\beta''\|^{2}=\frac{1}{16}\cdot\frac{1}{1-t^{2}}+\frac{1}{16}\cdot\frac{1}{1-t^{2}}=\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{1-t^{2}}.
Assim
\|\beta'(t)\times\beta''(t)\|=\sqrt{\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{1-t^{2}}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}.

Passo 7

Usando que \|\beta'(t)\|=1 e a fórmula da curvatura, obtemos diretamente
\kappa(t)=\|\beta'(t)\times\beta''(t)\|=\frac{1}{2\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}.
Explicando em palavras: a curvatura cresce quando |t| se aproxima de 1, pois o denominador \sqrt{1-t^{2}} diminui.

Passo 8

Calcular a torção usando a fórmula
\tau(t)=\frac{(\beta'\times\beta'')\cdot\beta'''}{\|\beta'\times\beta''\|^{2}}.
Já temos \|\beta'\times\beta''\|^{2}=\dfrac{1}{8}\dfrac{1}{1-t^{2}}. Agora calculo o numerador (\beta'\times\beta'')\cdot\beta'''.
Lembre que \beta'''(t)=( -\tfrac{1}{8}(1+t)^{-3/2},\; \tfrac{1}{8}(1-t)^{-3/2},\;0). Então o produto escalar é
(\beta'\times\beta'')\cdot\beta'''= \left(-\frac{1}{4\sqrt{2}}(1-t)^{-1/2}\right)\left(-\frac{1}{8}(1+t)^{-3/2}\right) +\left(\frac{1}{4\sqrt{2}}(1+t)^{-1/2}\right)\left(\frac{1}{8}(1-t)^{-3/2}\right).
Simplificando fator comum:
(\beta'\times\beta'')\cdot\beta'''=\frac{1}{32\sqrt{2}}\Big((1-t)^{-1/2}(1+t)^{-3/2}+(1+t)^{-1/2}(1-t)^{-3/2}\Big).
Como no passo anterior, fatorando (1+t)^{-3/2}(1-t)^{-3/2} e somando resulta em simplificação:
(\beta'\times\beta'')\cdot\beta'''=\frac{1}{16\sqrt{2}}(1-t^{2})^{-3/2}.

Passo 9

Agora aplico a fórmula da torção:
\tau(t)=\frac{\dfrac{1}{16\sqrt{2}}(1-t^{2})^{-3/2}}{\dfrac{1}{8}(1-t^{2})^{-1}}.
Simplificando:
\tau(t)=\frac{1}{16\sqrt{2}}\cdot(1-t^{2})^{-3/2}\cdot\frac{8(1-t^{2})}{1} =\frac{8}{16\sqrt{2}}\cdot(1-t^{2})^{-1/2} =\frac{1}{2\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}.
Portanto a torção coincide com a curvatura:
\tau(t)=\kappa(t)=\frac{1}{2\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}.

Passo 10

Resumo breve e encorajamento: vimos passo a passo como derivar, calcular produto vetorial, norma e produto escalar necessários. Um resultado bonito apareceu: a curva é parametrizada por comprimento de arco ( \|\beta'\|=1) e tem \kappa=\tau. Isso pode ser útil em problemas geométricos — por exemplo, curvas com curvatura igual à torção têm certas propriedades interessantes de simetria.

Resposta

\displaystyle \kappa(t)=\frac{1}{2\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}
\displaystyle \tau(t)=\frac{1}{2\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}

Exercícios relacionados