Calcule a curvatura e a torcão das seguintes curvas
Passo 1
O enunciado fornece a curva
e pede para calcular a curvatura e a torção dessa curva, isto é:
- a curvatura
; - a torção
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A curva está no espaço tridimensional com parâmetro
. - As componentes da curva são funções explícitas de
.
Passo 2
Lembrete das fórmulas que vou usar (explicando o que cada símbolo significa):
- A velocidade é
e a aceleração é . A terceira derivada é . - Norma de um vetor
é . - Produto vetorial entre
e é . - Produto escalar entre
e é .
Fórmulas para curva no espaço:
- Curvatura:
Aqui
mede o quanto a curva está “curvando” no espaço; precisa da velocidade e da aceleração.
- Torção:
A torção
mede o quanto a curva sai do plano de curvatura (como ela “torce” no espaço).
Vou calcular
,
,
, depois
, suas normas e o produto escalar necessário.
Passo 3
Calcular as derivadas primeiras, segundas e terceiras componente a componente (explicando as derivadas):
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Portanto, escrevendo vetorialmente:
Passo 4
Calcular a norma de
(velocidade) e notar uma simplificação útil:
Calcule cada termo:
Somando:
Logo
Isto significa que a curva já está parametrizada por comprimento de arco (velocidade unitária). Isso simplifica a fórmula da curvatura para
Passo 5
Calcular o produto vetorial
. Usando a regra padrão para determinante:
Componentes (calculei cada uma cuidadosamente):
Simplificando a terceira componente:
Passo 6
Calcular a norma de
. Primeiro somo os quadrados das componentes:
- Quadrado das duas primeiras componentes:
Note que
logo a soma é
- Quadrado da terceira componente: primeiro observe a identidade útil. Se
então a terceira componente é
e
Mas
Logo
Surpreendentemente, o quadrado da terceira componente é igual à soma dos quadrados das duas primeiras.
- Portanto a norma ao quadrado é
Assim
Passo 7
Usando que
e a fórmula da curvatura, obtemos diretamente
Explicando em palavras: a curvatura cresce quando
se aproxima de
, pois o denominador
diminui.
Passo 8
Calcular a torção usando a fórmula
Já temos
. Agora calculo o numerador
.
Lembre que
. Então o produto escalar é
Simplificando fator comum:
Como no passo anterior, fatorando
e somando resulta em simplificação:
Passo 9
Agora aplico a fórmula da torção:
Simplificando:
Portanto a torção coincide com a curvatura:
Passo 10
Resumo breve e encorajamento: vimos passo a passo como derivar, calcular produto vetorial, norma e produto escalar necessários. Um resultado bonito apareceu: a curva é parametrizada por comprimento de arco (
) e tem
. Isso pode ser útil em problemas geométricos — por exemplo, curvas com curvatura igual à torção têm certas propriedades interessantes de simetria.