Calcule a curvatura e a torcão das seguintes curvas
\gamma(\mathrm{t})=\left(\frac{4}{5} \cos \mathrm{t}, 1-\sin \mathrm{t},-\frac{3}{5} \cos \mathrm{t}\right)

Passo 1

O enunciado pede claramente: calcular a curvatura e a torção da curva
\gamma(\mathrm{t})=\left(\frac{4}{5}\cos\mathrm{t},\,1-\sin\mathrm{t},\,-\frac{3}{5}\cos\mathrm{t}\right).
Informações dadas que vamos usar:
  • A curva está dada parametricamente por três funções de \mathrm{t}: x(\mathrm{t})=\dfrac{4}{5}\cos\mathrm{t}, y(\mathrm{t})=1-\sin\mathrm{t}, z(\mathrm{t})=-\dfrac{3}{5}\cos\mathrm{t}.
  • Precisamos calcular a curvatura \kappa(\mathrm{t}) e a torção \tau(\mathrm{t}).

Passo 2

Relembrando as fórmulas que vamos usar (explicadas passo a passo):
  • Derivadas: para obter velocidade, aceleração e a terceira derivada, calculam-se as derivadas sucessivas de \gamma(\mathrm{t}).
  • Velocidade \gamma'(\mathrm{t}) é o vetor das derivadas primeiras; sua norma \|\gamma'(\mathrm{t})\| é a velocidade escalar.
  • Curvatura: a fórmula vetorial geral é
\kappa(\mathrm{t})=\frac{\|\gamma'(\mathrm{t})\times\gamma''(\mathrm{t})\|}{\|\gamma'(\mathrm{t})\|^{3}}.
Aqui \times é o produto vetorial e \|\cdot\| é a norma Euclidiana do vetor.
  • Torção: a fórmula é
\tau(\mathrm{t})=\frac{\big(\gamma'(\mathrm{t})\times\gamma''(\mathrm{t})\big)\cdot\gamma'''(\mathrm{t})}{\|\gamma'(\mathrm{t})\times\gamma''(\mathrm{t})\|^{2}}.
Aqui \cdot é o produto escalar.
Agora calculo as derivadas da curva componente a componente.
Derivadas:
\gamma'(\mathrm{t})=\left(-\frac{4}{5}\sin\mathrm{t},\,-\cos\mathrm{t},\,\frac{3}{5}\sin\mathrm{t}\right),
\gamma''(\mathrm{t})=\left(-\frac{4}{5}\cos\mathrm{t},\,\sin\mathrm{t},\,\frac{3}{5}\cos\mathrm{t}\right),
\gamma'''(\mathrm{t})=\left(\frac{4}{5}\sin\mathrm{t},\,\cos\mathrm{t},\,-\frac{3}{5}\sin\mathrm{t}\right).
Explicação curta sobre as derivadas: cada componente é função simples de \mathrm{t} (seno ou cosseno), então aplicou-se a regra básica \dfrac{d}{d\mathrm{t}}\cos\mathrm{t}=-\sin\mathrm{t} e \dfrac{d}{d\mathrm{t}}\sin\mathrm{t}=\cos\mathrm{t}.

Passo 3

Calculo da velocidade escalar \|\gamma'(\mathrm{t})\|. Primeiro a norma ao quadrado:
\|\gamma'(\mathrm{t})\|^{2}=\left(-\frac{4}{5}\sin\mathrm{t}\right)^{2}+(-\cos\mathrm{t})^{2}+\left(\frac{3}{5}\sin\mathrm{t}\right)^{2}.
Calculo termo a termo:
\left(-\frac{4}{5}\sin\mathrm{t}\right)^{2}=\frac{16}{25}\sin^{2}\mathrm{t},\qquad (-\cos\mathrm{t})^{2}=\cos^{2}\mathrm{t},\qquad \left(\frac{3}{5}\sin\mathrm{t}\right)^{2}=\frac{9}{25}\sin^{2}\mathrm{t}.
Somando:
\|\gamma'(\mathrm{t})\|^{2}=\frac{16}{25}\sin^{2}\mathrm{t}+\cos^{2}\mathrm{t}+\frac{9}{25}\sin^{2}\mathrm{t} =\left(\frac{16+9}{25}\right)\sin^{2}\mathrm{t}+\cos^{2}\mathrm{t} =\sin^{2}\mathrm{t}+\cos^{2}\mathrm{t}=1.
Portanto
\|\gamma'(\mathrm{t})\|=1.
Comentário ameno: ótimo — a curva é parametrizada por comprimento de arco (velocidade 1), o que simplifica muito as fórmulas (não precisamos dividir por \|\gamma'\|^{3} com algo complicado).

Passo 4

Agora calculo o produto vetorial \gamma'(\mathrm{t})\times\gamma''(\mathrm{t}). Usando a definição (com componentes a_i de \gamma' e b_i de \gamma''):
\gamma'(\mathrm{t})\times\gamma''(\mathrm{t})= \big(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2},\;a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3},\;a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\big).
Substituindo a_{1}=-\dfrac{4}{5}\sin\mathrm{t}, a_{2}=-\cos\mathrm{t}, a_{3}=\dfrac{3}{5}\sin\mathrm{t} e b_{1}=-\dfrac{4}{5}\cos\mathrm{t}, b_{2}=\sin\mathrm{t}, b_{3}=\dfrac{3}{5}\cos\mathrm{t}, obtenho:
Componente 1:
a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}=(-\cos\mathrm{t})\cdot\frac{3}{5}\cos\mathrm{t}-\frac{3}{5}\sin\mathrm{t}\cdot\sin\mathrm{t} =-\frac{3}{5}\cos^{2}\mathrm{t}-\frac{3}{5}\sin^{2}\mathrm{t}=-\frac{3}{5}.
Componente 2:
a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}=\frac{3}{5}\sin\mathrm{t}\cdot\left(-\frac{4}{5}\cos\mathrm{t}\right)-\left(-\frac{4}{5}\sin\mathrm{t}\right)\cdot\frac{3}{5}\cos\mathrm{t}=0.
Componente 3:
a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}=-\frac{4}{5}\sin\mathrm{t}\cdot\sin\mathrm{t}-(-\cos\mathrm{t})\cdot\left(-\frac{4}{5}\cos\mathrm{t}\right) =-\frac{4}{5}\sin^{2}\mathrm{t}-\frac{4}{5}\cos^{2}\mathrm{t}=-\frac{4}{5}.
Logo
\gamma'(\mathrm{t})\times\gamma''(\mathrm{t})=\left(-\frac{3}{5},\,0,\,-\frac{4}{5}\right),
que é um vetor constante (não depende de \mathrm{t}).
Norma desse vetor:
\|\gamma'(\mathrm{t})\times\gamma''(\mathrm{t})\| =\sqrt{\left(-\frac{3}{5}\right)^{2}+0^{2}+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}} =\sqrt{\frac{9}{25}+\frac{16}{25}}=\sqrt{\frac{25}{25}}=1.

Passo 5

Cálculo da curvatura usando a fórmula e as simplificações encontradas:
\kappa(\mathrm{t})=\frac{\|\gamma'(\mathrm{t})\times\gamma''(\mathrm{t})\|}{\|\gamma'(\mathrm{t})\|^{3}} =\frac{1}{1^{3}}=1.
Explicação verbal: a curvatura é constante igual a 1. Isso significa que, localmente, a curva tem raio de curvatura R=\dfrac{1}{\kappa}=1.

Passo 6

Cálculo da torção. Como \gamma'(\mathrm{t})\times\gamma''(\mathrm{t}) tem norma 1, a fórmula simplifica para
\tau(\mathrm{t})=\big(\gamma'(\mathrm{t})\times\gamma''(\mathrm{t})\big)\cdot\gamma'''(\mathrm{t}).
Já temos \gamma'(\mathrm{t})\times\gamma''(\mathrm{t})=\left(-\dfrac{3}{5},0,-\dfrac{4}{5}\right) e
\gamma'''(\mathrm{t})=\left(\frac{4}{5}\sin\mathrm{t},\,\cos\mathrm{t},\,-\frac{3}{5}\sin\mathrm{t}\right).
Produto escalar:
\big(\gamma'\times\gamma''\big)\cdot\gamma'''= -\frac{3}{5}\cdot\frac{4}{5}\sin\mathrm{t}+0\cdot\cos\mathrm{t}-\frac{4}{5}\cdot\left(-\frac{3}{5}\sin\mathrm{t}\right).
Calculo dos termos:
-\frac{3}{5}\cdot\frac{4}{5}\sin\mathrm{t}=-\frac{12}{25}\sin\mathrm{t},\qquad -\frac{4}{5}\cdot\left(-\frac{3}{5}\sin\mathrm{t}\right)=+\frac{12}{25}\sin\mathrm{t}.
Somando:
-\frac{12}{25}\sin\mathrm{t}+\frac{12}{25}\sin\mathrm{t}=0.
Portanto
\tau(\mathrm{t})=0.
Interpretação amigável: torção zero significa que a curva é plana (toda ela está contida em um plano). De fato o binormal B=\gamma'\times\gamma'' é constante, o que é exatamente a condição de planaridade.

Passo 7

Breta conclusão e reforço para a prova: dado que a velocidade é 1, a curvatura se tornou simplesmente a norma do produto vetorial entre velocidade e aceleração, e a torção se tornou o produto escalar desse produto vetorial com a terceira derivada. Nos cálculos apareceu um vetor constante \left(-\dfrac{3}{5},0,-\dfrac{4}{5}\right) de norma 1, que facilitou tudo.

Resposta

\kappa(\mathrm{t})=1
\tau(\mathrm{t})=0

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