Calcule a curvatura e a torcão das seguintes curvas
Passo 1
O enunciado pede claramente: calcular a curvatura e a torção da curva
Informações dadas que vamos usar:
- A curva está dada parametricamente por três funções de
: , , . - Precisamos calcular a curvatura
e a torção .
Passo 2
Relembrando as fórmulas que vamos usar (explicadas passo a passo):
- Derivadas: para obter velocidade, aceleração e a terceira derivada, calculam-se as derivadas sucessivas de
. - Velocidade
é o vetor das derivadas primeiras; sua norma é a velocidade escalar. - Curvatura: a fórmula vetorial geral é
Aqui
é o produto vetorial e
é a norma Euclidiana do vetor.
- Torção: a fórmula é
Aqui
é o produto escalar.
Agora calculo as derivadas da curva componente a componente.
Derivadas:
Explicação curta sobre as derivadas: cada componente é função simples de
(seno ou cosseno), então aplicou-se a regra básica
e
.
Passo 3
Calculo da velocidade escalar
. Primeiro a norma ao quadrado:
Calculo termo a termo:
Somando:
Portanto
Comentário ameno: ótimo — a curva é parametrizada por comprimento de arco (velocidade 1), o que simplifica muito as fórmulas (não precisamos dividir por
com algo complicado).
Passo 4
Agora calculo o produto vetorial
. Usando a definição (com componentes
de
e
de
):
Substituindo
,
,
e
,
,
, obtenho:
Componente 1:
Componente 2:
Componente 3:
Logo
que é um vetor constante (não depende de
).
Norma desse vetor:
Passo 5
Cálculo da curvatura usando a fórmula e as simplificações encontradas:
Explicação verbal: a curvatura é constante igual a
. Isso significa que, localmente, a curva tem raio de curvatura
.
Passo 6
Cálculo da torção. Como
tem norma
, a fórmula simplifica para
Já temos
e
Produto escalar:
Calculo dos termos:
Somando:
Portanto
Interpretação amigável: torção zero significa que a curva é plana (toda ela está contida em um plano). De fato o binormal
é constante, o que é exatamente a condição de planaridade.
Passo 7
Breta conclusão e reforço para a prova: dado que a velocidade é
, a curvatura se tornou simplesmente a norma do produto vetorial entre velocidade e aceleração, e a torção se tornou o produto escalar desse produto vetorial com a terceira derivada. Nos cálculos apareceu um vetor constante
de norma
, que facilitou tudo.