PROBLEMA 3 Determine valores MAX e MIN locais
[f(x, y)=4+x{3}+y{3}-3 x y]

Passo 1

O enunciado pede: determinar valores máximos e mínimos locais da função f(x,y)=4+x^{3}+y^{3}-3xy.
Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=4+x^{3}+y^{3}-3xy.
  • Precisa-se encontrar os pontos críticos e classificá‑los (máximo local, mínimo local ou ponto de sela) e, quando houver, dar o valor de f nesses pontos.

Passo 2

O que é um ponto crítico e por que procurar derivadas parciais?
  • Pontos críticos de uma função de duas variáveis são pontos onde o gradiente é zero (ou onde as derivadas parciais não existem). O gradiente é o vetor das derivadas parciais e indica a direção de maior crescimento local.
  • Para achar pontos críticos calculamos as derivadas parciais de f e igualamos a zero.
Calcule as derivadas parciais:
f_x=\frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}-3y, \qquad f_y=\frac{\partial f}{\partial y}=3y^{2}-3x.

Passo 3

Igualando o gradiente a zero:
f_x=0\quad\Rightarrow\quad 3x^{2}-3y=0, \qquad f_y=0\quad\Rightarrow\quad 3y^{2}-3x=0.
Dividindo ambas equações por 3 (isso é permitido porque 3\neq0):
x^{2}-y=0, \qquad y^{2}-x=0.

Passo 4

Resolver o sistema
\begin{cases} y=x^{2},\\[4pt] x=y^{2}. \end{cases}
Substituindo y=x^{2} na segunda equação:
x=(x^{2})^{2}=x^{4}.
Leva a
x^{4}-x=0 \quad\Rightarrow\quad x(x^{3}-1)=0.
Portanto as soluções para x são x=0 ou x^{3}=1\Rightarrow x=1 (a única raiz real).]

Passo 5

Encontrar os correspondentes y:
  • Se x=0, então y=x^{2}=0. Ponto crítico (0,0).
  • Se x=1, então y=x^{2}=1. Ponto crítico (1,1).
Assim os pontos críticos são (0,0) e (1,1).

Passo 6

Teste da segunda derivada (teste do Hessiano) para classificar os pontos.
  • Calcular as segundas derivadas:
f_{xx}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=6x, \qquad f_{yy}=\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}=6y, \qquad f_{xy}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}=-3.
  • Determinante do Hessiano (denotado por D):
D=f_{xx}f_{yy}-\left(f_{xy}\right)^{2}=(6x)(6y)-(-3)^{2}=36xy-9=9(4xy-1).
Relembrando a interpretação do teste:
  • Se D>0 e f_{xx}>0 no ponto \Rightarrow mínimo local.
  • Se D>0 e f_{xx}<0 no ponto \Rightarrow máximo local.
  • Se D<0 \Rightarrow ponto de sela.
  • Se D=0 \Rightarrow teste inconclusivo (não ocorre aqui).

Passo 7

Classificar (0,0):
  • Calcular D em (0,0):
D(0,0)=9(4\cdot 0\cdot 0-1)=9( -1)=-9<0.
Como D<0, o ponto (0,0) é um ponto de sela (nem máximo nem mínimo).

Passo 8

Classificar (1,1):
  • Calcular D em (1,1):
D(1,1)=9(4\cdot 1\cdot 1-1)=9(3)=27>0.
  • Calcular f_{xx} em (1,1):
f_{xx}(1,1)=6\cdot 1=6>0.
Como D>0 e f_{xx}>0, o ponto (1,1) é um mínimo local.
Calcular o valor de f em (1,1):
f(1,1)=4+1^{3}+1^{3}-3\cdot 1\cdot 1=4+1+1-3=3.

Passo 9

Resumo dos resultados e observação final:
  • Ponto crítico (0,0): ponto de sela, valor f(0,0)=4.
  • Ponto crítico (1,1): mínimo local, valor f(1,1)=3.
  • Não existem máximos locais (entre os pontos críticos encontrados).

Resposta

(0,0) é ponto de sela (nem máximo nem mínimo).
(1,1) é mínimo local com valor f(1,1)=3.

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