PROBLEMA 3 Determine valores MAX e MIN locais
[f(x, y)=4+x{3}+y{3}-3 x y]
[f(x, y)=4+x{3}+y{3}-3 x y]
Passo 1
O enunciado pede: determinar valores máximos e mínimos locais da função
.
Informações dadas:
- A função é
. - Precisa-se encontrar os pontos críticos e classificá‑los (máximo local, mínimo local ou ponto de sela) e, quando houver, dar o valor de
nesses pontos.
Passo 2
O que é um ponto crítico e por que procurar derivadas parciais?
- Pontos críticos de uma função de duas variáveis são pontos onde o gradiente é zero (ou onde as derivadas parciais não existem). O gradiente é o vetor das derivadas parciais e indica a direção de maior crescimento local.
- Para achar pontos críticos calculamos as derivadas parciais de
e igualamos a zero.
Calcule as derivadas parciais:
Passo 3
Igualando o gradiente a zero:
Dividindo ambas equações por
(isso é permitido porque
):
Passo 4
Resolver o sistema
Substituindo
na segunda equação:
Leva a
Portanto as soluções para
são
ou
(a única raiz real).]
Passo 5
Encontrar os correspondentes
:
- Se
, então . Ponto crítico . - Se
, então . Ponto crítico .
Assim os pontos críticos são
e
.
Passo 6
Teste da segunda derivada (teste do Hessiano) para classificar os pontos.
- Calcular as segundas derivadas:
- Determinante do Hessiano (denotado por
):
Relembrando a interpretação do teste:
- Se
e no ponto mínimo local. - Se
e no ponto máximo local. - Se
ponto de sela. - Se
teste inconclusivo (não ocorre aqui).
Passo 7
Classificar
:
- Calcular
em :
Como
, o ponto
é um ponto de sela (nem máximo nem mínimo).
Passo 8
Classificar
:
- Calcular
em :
- Calcular
em :
Como
e
, o ponto
é um mínimo local.
Calcular o valor de
em
:
Passo 9
Resumo dos resultados e observação final:
- Ponto crítico
: ponto de sela, valor . - Ponto crítico
: mínimo local, valor . - Não existem máximos locais (entre os pontos críticos encontrados).