Calcule a curvatura e a torção das seguintes curvas:
\beta(t)=\left(\cos t, . \operatorname{sen} t, e^{t}\right),

Passo 1

O enunciado dá a curva
\beta(t)=\bigl(\cos t,\;\sin t,\;e^{t}\bigr),
e pede que calculemos a curvatura e a torção dessa curva para um parâmetro genérico t.
Informações relevantes fornecidas:
  • A curva é uma curva espacial regular (as componentes são diferenciáveis e \beta'(t) não é o vetor zero).
  • Precisamos das fórmulas usuais de curvatura e torção para curvas em \mathbb{R}^3.
O que vamos calcular:
  • A curvatura \kappa(t) usando a fórmula
\kappa(t)=\frac{\|\beta'(t)\times\beta''(t)\|}{\|\beta'(t)\|^{3}}.
  • A torção \tau(t) usando a fórmula
\tau(t)=\frac{\det\bigl(\beta'(t),\beta''(t),\beta'''(t)\bigr)}{\|\beta'(t)\times\beta''(t)\|^{2}}.

Passo 2

Calcular as derivadas primeiras, segundas e terceiras da curva componente a componente.
Derivando componente a componente:
\beta'(t)=\bigl(-\sin t,\;\cos t,\;e^{t}\bigr),
\beta''(t)=\bigl(-\cos t,\;-\sin t,\;e^{t}\bigr),
\beta'''(t)=\bigl(\sin t,\;-\cos t,\;e^{t}\bigr).

Passo 3

Calcular o produto vetorial \beta'(t)\times\beta''(t). Usando a definição por determinante:
\beta'(t)\times\beta''(t)= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ -\sin t & \cos t & e^{t} \\\\ -\cos t & -\sin t & e^{t} \end{vmatrix}.
Calculando componente a componente:
  • Componente \mathbf{i}:
\cos t\cdot e^{t}-e^{t}\cdot(-\sin t)=e^{t}(\cos t+\sin t).
  • Componente \mathbf{j} (lembre o sinal negativo na fórmula):
- \bigl( -\sin t\cdot e^{t}-e^{t}\cdot(-\cos t)\bigr) = e^{t}(\sin t-\cos t).
  • Componente \mathbf{k}:
(-\sin t)(- \sin t)-\cos t(-\cos t)=\sin^{2}t+\cos^{2}t=1.
Portanto
\beta'(t)\times\beta''(t)=\bigl(e^{t}(\cos t+\sin t),\;e^{t}(\sin t-\cos t),\;1\bigr).

Passo 4

Calcular a norma de \beta'(t)\times\beta''(t). Primeiro o quadrado da norma:
\|\beta'(t)\times\beta''(t)\|^{2} = e^{2t}(\cos t+\sin t)^{2}+e^{2t}(\sin t-\cos t)^{2}+1.
Somando os dois quadrados de soma/diferença:
(\cos t+\sin t)^{2}+(\sin t-\cos t)^{2} =2(\cos^{2}t+\sin^{2}t)=2.
Logo
\|\beta'(t)\times\beta''(t)\|^{2}=2e^{2t}+1,
e portanto
\|\beta'(t)\times\beta''(t)\|=\sqrt{1+2e^{2t}}.

Passo 5

Calcular a norma de \beta'(t). Primeiro o quadrado da norma:
\|\beta'(t)\|^{2}=(-\sin t)^{2}+(\cos t)^{2}+e^{2t}=\sin^{2}t+\cos^{2}t+e^{2t}=1+e^{2t}.
Portanto
\|\beta'(t)\|=\sqrt{1+e^{2t}}.

Passo 6

Aplicar a fórmula da curvatura
\kappa(t)=\frac{\|\beta'(t)\times\beta''(t)\|}{\|\beta'(t)\|^{3}}.
Substituindo os resultados dos passos anteriores:
\kappa(t)=\frac{\sqrt{1+2e^{2t}}}{\bigl(\sqrt{1+e^{2t}}\bigr)^{3}} =\frac{\sqrt{1+2e^{2t}}}{(1+e^{2t})^{3/2}}.
(Isto já é a expressão simplificada da curvatura.)

Passo 7

Para a torção precisamos do determinante \det(\beta',\beta'',\beta'''). Montar o determinante:
\det\bigl(\beta'(t),\beta''(t),\beta'''(t)\bigr)= \begin{vmatrix} -\sin t & \cos t & e^{t} \\\\ -\cos t & -\sin t & e^{t} \\\ \sin t & -\cos t & e^{t} \end{vmatrix}.
Vamos calcular termo a termo usando a expansão pela primeira linha.

Passo 8

Calcular o determinante passo a passo.
Usando a fórmula
\det= -\sin t\bigl((- \sin t)\cdot e^{t}-e^{t}\cdot(-\cos t)\bigr) -\cos t\bigl((- \cos t)\cdot e^{t}-e^{t}\cdot(\sin t)\bigr) +e^{t}\bigl((- \cos t)(- \cos t)-(-\sin t)(\sin t)\bigr).
Simplificando cada parte (fatorando e^{t} onde conveniente):
  • Primeiro termo:
-\sin t\cdot e^{t}(\cos t-\sin t) = -e^{t}\sin t(\cos t-\sin t).
  • Segundo termo:
-\cos t\cdot e^{t}(-\cos t-\sin t)=e^{t}\cos t(\cos t+\sin t).
  • Terceiro termo:
e^{t}\bigl(\cos^{2}t+\sin^{2}t\bigr)=e^{t}\cdot 1=e^{t}.
Somando tudo e fatorando e^{t}:
\det\bigl(\beta',\beta'',\beta'''\bigr)=e^{t}\bigl(-\sin t(\cos t-\sin t)+\cos t(\cos t+\sin t)+1\bigr).
Expandindo a soma interna:
-\sin t\cos t+\sin^{2}t+\cos^{2}t+\cos t\sin t+1.
Os termos -\sin t\cos t e +\cos t\sin t cancelam; \sin^{2}t+\cos^{2}t=1. Assim o parêntese vale 1+1=2. Logo
\det\bigl(\beta',\beta'',\beta'''\bigr)=2e^{t}.

Passo 9

Aplicar a fórmula da torção
\tau(t)=\frac{\det\bigl(\beta',\beta'',\beta'''\bigr)}{\|\beta'(t)\times\beta''(t)\|^{2}}.
Substituindo os resultados:
\tau(t)=\frac{2e^{t}}{\,1+2e^{2t}\,}.

Resposta

\displaystyle \kappa(t)=\frac{\sqrt{1+2e^{2t}}}{(1+e^{2t})^{3/2}}
\displaystyle \tau(t)=\frac{2e^{t}}{1+2e^{2t}}

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