Calcule a curvatura e a torção das seguintes curvas:
,
Passo 1
O enunciado dá a curva
e pede que calculemos a curvatura e a torção dessa curva para um parâmetro genérico
.
Informações relevantes fornecidas:
- A curva é uma curva espacial regular (as componentes são diferenciáveis e
não é o vetor zero). - Precisamos das fórmulas usuais de curvatura e torção para curvas em
.
O que vamos calcular:
- A curvatura
usando a fórmula
- A torção
usando a fórmula
Passo 2
Calcular as derivadas primeiras, segundas e terceiras da curva componente a componente.
Derivando componente a componente:
Passo 3
Calcular o produto vetorial
. Usando a definição por determinante:
Calculando componente a componente:
- Componente
:
- Componente
(lembre o sinal negativo na fórmula):
- Componente
:
Portanto
Passo 4
Calcular a norma de
. Primeiro o quadrado da norma:
Somando os dois quadrados de soma/diferença:
Logo
e portanto
Passo 5
Calcular a norma de
. Primeiro o quadrado da norma:
Portanto
Passo 6
Aplicar a fórmula da curvatura
Substituindo os resultados dos passos anteriores:
(Isto já é a expressão simplificada da curvatura.)
Passo 7
Para a torção precisamos do determinante
. Montar o determinante:
Vamos calcular termo a termo usando a expansão pela primeira linha.
Passo 8
Calcular o determinante passo a passo.
Usando a fórmula
Simplificando cada parte (fatorando
onde conveniente):
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
Somando tudo e fatorando
:
Expandindo a soma interna:
Os termos
e
cancelam;
. Assim o parêntese vale
. Logo
Passo 9
Aplicar a fórmula da torção
Substituindo os resultados: