Considere as seguintes curvas regulares:
Reparametrize essas curvas por comprimento de arco, obtenha o triedro de Frenet, a curvatura e a torção de cada curva.
\beta(t)=(1-\cos t, \operatorname{sen} t, t), t \in \mathbb{R},

Passo 1

O enunciado dá a curva regular
\beta(t)=\bigl(1-\cos t,\;\sin t,\;t\bigr),\quad t\in\mathbb{R},
e pede, para esta curva:
  • Reparametrização por comprimento de arco.
  • O triedro de Frenet (vetores \,T,N,B).
  • A curvatura \kappa.
  • A torção \tau.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão explícita de \beta(t).
  • O parâmetro t varia por \mathbb{R}.
  • A curva é regular (isto é, \beta'(t)\neq0 para todo t).

Passo 2

Primeiro calculo as derivadas da curva e a velocidade (isso é necessário para saber se a parametrização atual é por comprimento de arco ou não).
Derivada primeira:
\beta'(t)=\bigl(\sin t,\;\cos t,\;1\bigr).
Derivada segunda:
\beta''(t)=\bigl(\cos t,\; -\sin t,\;0\bigr).
Agora a velocidade (norma de \beta'):
\|\beta'(t)\|=\sqrt{\sin^2 t+\cos^2 t+1}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.
Observação didática: \sin^2 t+\cos^2 t=1 sempre, daí a simplificação. Como \|\beta'(t)\|=\sqrt{2} é constante e diferente de zero, a curva é regular e tem velocidade constante.

Passo 3

Reparametrização por comprimento de arco.
Definição rápida (didática): o parâmetro de comprimento de arco s a partir de uma referência t_0 é
s(t)=\int_{t_0}^{t}\|\beta'(u)\|\,du.
Como a velocidade é constante \|\beta'(u)\|=\sqrt{2}, escolho a referência t_0=0 e obtenho
s(t)=\int_{0}^{t}\sqrt{2}\,du=\sqrt{2}\,t.
Inverso:
t=\frac{s}{\sqrt{2}}.
Portanto a reparametrização por comprimento de arco (função unit-speed) é
\alpha(s)=\beta\!\bigl(t(s)\bigr)=\beta\!\bigl(\tfrac{s}{\sqrt{2}}\bigr) =\Bigl(1-\cos\!\bigl(\tfrac{s}{\sqrt{2}}\bigr),\;\sin\!\bigl(\tfrac{s}{\sqrt{2}}\bigr),\;\tfrac{s}{\sqrt{2}}\Bigr).
Verificação rápida: \alpha'(s)=\dfrac{d\beta}{dt}\big|_{t=s/\sqrt{2}}\cdot\dfrac{dt}{ds}=\beta'(t)\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}}, e como \|\beta'(t)\|=\sqrt{2} obtemos \|\alpha'(s)\|=1, isto é, \alpha está parametrizada por comprimento de arco (unit-speed). Isso é importante porque as fórmulas do triedro de Frenet ficam mais simples com parametrização unitária.

Passo 4

Encontrar o vetor tangente unitário T(s).
Definição didática: o vetor tangente unitário é
T(s)=\alpha'(s),
ou, em termos de t,
T(t)=\frac{\beta'(t)}{\|\beta'(t)\|}.
Usando \|\beta'(t)\|=\sqrt{2} e \beta'(t)=(\sin t,\cos t,1), obtemos
T(t)=\frac{1}{\sqrt{2}}\bigl(\sin t,\;\cos t,\;1\bigr).
Substituindo t=\dfrac{s}{\sqrt{2}} para escrever em função de s:
T(s)=\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigl(\sin\!\bigl(\tfrac{s}{\sqrt{2}}\bigr),\;\cos\!\bigl(\tfrac{s}{\sqrt{2}}\bigr),\;1\Bigr).

Passo 5

Calcular a curvatura \kappa.
Duas fórmulas úteis (explicadas):
  • Para parametrização por comprimento de arco: \kappa(s)=\|T'(s)\|.
  • Para parâmetro geral t: \kappa(t)=\dfrac{\|\beta'(t)\times\beta''(t)\|}{\|\beta'(t)\|^3}. Aqui \times é o produto vetorial e \|\cdot\| norma euclidiana.
Vou usar a fórmula com produto vetorial porque é direta com as derivadas já calculadas.
Primeiro o produto vetorial \beta'(t)\times\beta''(t). Calculando:
\beta'(t)\times\beta''(t) =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] \sin t & \cos t & 1\\[4pt] \cos t & -\sin t & 0 \end{vmatrix} =(\sin t,\;\cos t,\;-1).
Norma:
\|\beta'(t)\times\beta''(t)\|=\sqrt{\sin^2 t+\cos^2 t+(-1)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.
Logo,
\kappa(t)=\frac{\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^3}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}.
Portanto a curvatura é constante:
\kappa=\tfrac{1}{2}.
(Verificação alternativa curta: com parametrização por comprimento de arco, calculando T'(s) também se obtém \|T'(s)\|=1/2.)]

Passo 6

Calcular a normal principal N(s).
Definição didática: a normal principal é
N(s)=\frac{T'(s)}{\|T'(s)\|}=\frac{T'(s)}{\kappa(s)}.
Calculo T'(s). Já tínhamos T(t)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(\sin t,\cos t,1). Derivando em t:
\frac{dT}{dt}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\cos t,\; -\sin t,\;0).
Como d/ds=(1/(dt/ds))d/dt e dt/ds=1/\sqrt{2} (pois s=\sqrt{2}t), segue
T'(s)=\frac{dT}{ds}=\frac{dT}{dt}\cdot\frac{dt}{ds} =\frac{1}{\sqrt{2}}(\cos t,-\sin t,0)\cdot\frac{1}{\sqrt{2}} =\frac{1}{2}(\cos t,-\sin t,0).
A norma de T'(s) é \|T'(s)\|=1/2, que já foi identificada como \kappa. Assim
N(s)=\frac{T'(s)}{\kappa}=\frac{\tfrac{1}{2}(\cos t,-\sin t,0)}{\tfrac{1}{2}}=(\cos t,-\sin t,0).
Substituindo t=\dfrac{s}{\sqrt{2}} se desejar:
N(s)=\Bigl(\cos\!\bigl(\tfrac{s}{\sqrt{2}}\bigr),\;-\sin\!\bigl(\tfrac{s}{\sqrt{2}}\bigr),\;0\Bigr).
Nota intuitiva: N aponta para dentro do círculo formado pelas componentes x,y da curva projetada.

Passo 7

Calcular o binormal B(s).
Definição didática: B(s)=T(s)\times N(s). É unitário e ortogonal a T e N.
Usando os vetores já obtidos (aqui escrevo em termos de t para simplificar a álgebra):
T(t)=\frac{1}{\sqrt{2}}(\sin t,\cos t,1),\qquad N(t)=(\cos t,-\sin t,0).
Fazendo o produto vetorial:
B(t)=T(t)\times N(t)=\frac{1}{\sqrt{2}}(\sin t,\cos t,1)\times(\cos t,-\sin t,0) =\frac{1}{\sqrt{2}}(\sin t,\cos t,-1).
Verificação de norma: \|B\|=1 pois \sin^2+\cos^2+(-1)^2=2 e o fator 1/\sqrt{2} dá norma 1.
Substituindo t=\dfrac{s}{\sqrt{2}}:
B(s)=\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigl(\sin\!\bigl(\tfrac{s}{\sqrt{2}}\bigr),\;\cos\!\bigl(\tfrac{s}{\sqrt{2}}\bigr),\;-1\Bigr).

Passo 8

Calcular a torção \tau.
Duas fórmulas usuais (didática):
  • Para parametrização por comprimento de arco: \tau(s)=-\langle B'(s),N(s)\rangle.
  • Para parâmetro geral t: \tau(t)=\dfrac{(\beta'(t)\times\beta''(t))\cdot\beta'''(t)}{\|\beta'(t)\times\beta''(t)\|^2}. Aqui \cdot é produto escalar.
Vou usar a fórmula com as derivadas já conhecidas. Primeiro calcule \beta'''(t):
\beta'''(t)=(-\sin t,\; -\cos t,\;0).
Já tínhamos \beta'(t)\times\beta''(t)=(\sin t,\cos t,-1) e sua norma ao quadrado é 2. O produto escalar
(\beta'(t)\times\beta''(t))\cdot\beta'''(t) =(\sin t,\cos t,-1)\cdot(-\sin t,-\cos t,0) =-\sin^2 t-\cos^2 t=-1.
Logo
\tau(t)=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}.
Portanto a torção é constante:
\tau=-\tfrac{1}{2}.
(Verificação alternativa: calcular B'(s) e verificar -\langle B',N\rangle=-1/2.)

Passo 9

Resumo interpretativo e checagens rápidas (motivação para a prova):
  • A curva tem velocidade constante \sqrt{2}, por isso a reparametrização por comprimento de arco é simples: s=\sqrt{2}\,t.
  • Curvatura e torção encontradas são constantes ( \kappa=1/2, \tau=-1/2). Isso significa que a curva tem curvatura e torção constantes ao longo de toda a curva (é, em linguagem geométrica, uma espécie de hélice de curvatura e torção constantes).
  • Todos os vetores T,N,B são unidades e mutuamente ortogonais (padrão do triedro de Frenet).

Resposta

\displaystyle \alpha(s)=\Bigl(1-\cos\!\bigl(\tfrac{s}{\sqrt{2}}\bigr),\;\sin\!\bigl(\tfrac{s}{\sqrt{2}}\bigr),\;\tfrac{s}{\sqrt{2}}\Bigr)
\displaystyle T(s)=\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigl(\sin\!\bigl(\tfrac{s}{\sqrt{2}}\bigr),\;\cos\!\bigl(\tfrac{s}{\sqrt{2}}\bigr),\;1\Bigr)
\displaystyle N(s)=\Bigl(\cos\!\bigl(\tfrac{s}{\sqrt{2}}\bigr),\;-\sin\!\bigl(\tfrac{s}{\sqrt{2}}\bigr),\;0\Bigr)
\displaystyle B(s)=\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigl(\sin\!\bigl(\tfrac{s}{\sqrt{2}}\bigr),\;\cos\!\bigl(\tfrac{s}{\sqrt{2}}\bigr),\;-1\Bigr)
\displaystyle \kappa=\tfrac{1}{2}
\displaystyle \tau=-\tfrac{1}{2}

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