Reparametrize essas curvas por comprimento de arco, obtenha o triedro de Frenet, a curvatura e a torção de cada curva. \beta(t)=(1-\cos t, \operatorname{sen} t, t), t \in \mathbb{R},
Observação didática: \sin^2 t+\cos^2 t=1 sempre, daí a simplificação. Como \|\beta'(t)\|=\sqrt{2} é constante e diferente de zero, a curva é regular e tem velocidade constante.
Passo 3
Reparametrização por comprimento de arco.
Definição rápida (didática): o parâmetro de comprimento de arco s a partir de uma referência t_0 é
s(t)=\int_{t_0}^{t}\|\beta'(u)\|\,du.
Como a velocidade é constante \|\beta'(u)\|=\sqrt{2}, escolho a referência t_0=0 e obtenho
s(t)=\int_{0}^{t}\sqrt{2}\,du=\sqrt{2}\,t.
Inverso:
t=\frac{s}{\sqrt{2}}.
Portanto a reparametrização por comprimento de arco (função unit-speed) é
Verificação rápida: \alpha'(s)=\dfrac{d\beta}{dt}\big|_{t=s/\sqrt{2}}\cdot\dfrac{dt}{ds}=\beta'(t)\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}}, e como \|\beta'(t)\|=\sqrt{2} obtemos \|\alpha'(s)\|=1, isto é, \alpha está parametrizada por comprimento de arco (unit-speed). Isso é importante porque as fórmulas do triedro de Frenet ficam mais simples com parametrização unitária.
Passo 4
Encontrar o vetor tangente unitário T(s).
Definição didática: o vetor tangente unitário é
T(s)=\alpha'(s),
ou, em termos de t,
T(t)=\frac{\beta'(t)}{\|\beta'(t)\|}.
Usando \|\beta'(t)\|=\sqrt{2} e \beta'(t)=(\sin t,\cos t,1), obtemos
Para parametrização por comprimento de arco: \kappa(s)=\|T'(s)\|.
Para parâmetro geral t: \kappa(t)=\dfrac{\|\beta'(t)\times\beta''(t)\|}{\|\beta'(t)\|^3}. Aqui \times é o produto vetorial e \|\cdot\| norma euclidiana.
Vou usar a fórmula com produto vetorial porque é direta com as derivadas já calculadas.
Primeiro o produto vetorial \beta'(t)\times\beta''(t). Calculando:
\beta'(t)\times\beta''(t) =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] \sin t & \cos t & 1\\[4pt] \cos t & -\sin t & 0 \end{vmatrix} =(\sin t,\;\cos t,\;-1).
(Verificação alternativa: calcular B'(s) e verificar -\langle B',N\rangle=-1/2.)
Passo 9
Resumo interpretativo e checagens rápidas (motivação para a prova):
A curva tem velocidade constante \sqrt{2}, por isso a reparametrização por comprimento de arco é simples: s=\sqrt{2}\,t.
Curvatura e torção encontradas são constantes (\kappa=1/2, \tau=-1/2). Isso significa que a curva tem curvatura e torção constantes ao longo de toda a curva (é, em linguagem geométrica, uma espécie de hélice de curvatura e torção constantes).
Todos os vetores T,N,B são unidades e mutuamente ortogonais (padrão do triedro de Frenet).