Calcule a curvatura e a torção das seguintes curvas:
\gamma(t)=(t, \operatorname{cosh} t, \operatorname{senh} t).

Passo 1

O enunciado dá a curva
\gamma(t) = \bigl(t,\\ \operatorname{cosh} t,\\ \operatorname{senh} t\bigr).
Observações/clarificações que peguei do enunciado:
  • Aqui \operatorname{senh} t é a notação em português para \operatorname{sinh} t, ou seja a terceira componente é \operatorname{sinh} t.
    O que pedem:
  • Calcular a curvatura \kappa(t) da curva.
  • Calcular a torção \tau(t) da curva.

Passo 2

Fórmulas que vamos usar (explicadas de forma didática).
  • Curvatura: para uma curva regular \gamma(t) em \mathbb{R}^3 a curvatura em parâmetro qualquer t é
\kappa(t)=\frac{\bigl\|\gamma'(t)\times\gamma''(t)\bigr\|}{\bigl\|\gamma'(t)\bigr\|^3}.
Aqui \gamma'(t) é a derivada primeira (velocidade), \gamma''(t) é a derivada segunda (aceleração), o símbolo \times é o produto vetorial e \|\cdot\| é a norma euclidiana. Intuição: \|\gamma'\times\gamma''\| mede quão “curva” é a trajetória e dividir por \|\gamma'\|^3 corrige para o parâmetro (para obter uma quantidade geométrica independente da velocidade de parametrização).
  • Torção: a torção mede a saída do plano osculador e pode ser escrita como
\tau(t)=\frac{\bigl(\gamma'(t)\times\gamma''(t)\bigr)\cdot\gamma'''(t)}{\bigl\|\gamma'(t)\times\gamma''(t)\bigr\|^2},
onde \cdot é o produto escalar e \gamma'''(t) é a derivada terceira. Intuição: o numerador é o produto misto (triple scalar product) que mede a componente de \gamma''' perpendicular ao plano gerado por \gamma' e \gamma''.
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo.

Passo 3

Calcular as derivadas de \gamma(t). Lembretes: \dfrac{d}{dt}\operatorname{cosh} t=\operatorname{sinh} t e \dfrac{d}{dt}\operatorname{sinh} t=\operatorname{cosh} t.
  • Primeira derivada:
\gamma'(t)=\bigl(1,\\ \operatorname{sinh} t,\\ \operatorname{cosh} t\bigr).
  • Segunda derivada:
\gamma''(t)=\bigl(0,\\ \operatorname{cosh} t,\\ \operatorname{sinh} t\bigr).
  • Terceira derivada:
\gamma'''(t)=\bigl(0,\\ \operatorname{sinh} t,\\ \operatorname{cosh} t\bigr).

Passo 4

Calcular o produto vetorial \gamma'(t)\times\gamma''(t).
Usando a fórmula componente a componente:
\gamma'(t)\times\gamma''(t) = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] 1 & \operatorname{sinh} t & \operatorname{cosh} t\\[4pt] 0 & \operatorname{cosh} t & \operatorname{sinh} t \end{vmatrix}.
Calculando cada componente:
  • Componente x: \operatorname{sinh} t\cdot\operatorname{sinh} t - \operatorname{cosh} t\cdot\operatorname{cosh} t = \operatorname{sinh}^2 t - \operatorname{cosh}^2 t.
  • Componente y: \operatorname{cosh} t\cdot 0 - 1\cdot\operatorname{sinh} t = -\operatorname{sinh} t.
  • Componente z: 1\cdot\operatorname{cosh} t - \operatorname{sinh} t\cdot 0 = \operatorname{cosh} t.
Portanto
\gamma'(t)\times\gamma''(t)=\bigl(\operatorname{sinh}^2 t-\operatorname{cosh}^2 t,\\\ -\operatorname{sinh} t,\\ \operatorname{cosh} t\bigr).
Agora usamos a identidade hiperbólica fundamental \operatorname{cosh}^2 t-\operatorname{sinh}^2 t=1. Assim \operatorname{sinh}^2 t-\operatorname{cosh}^2 t=-1. Portanto:
\gamma'(t)\times\gamma''(t)=\bigl(-1,\\\ -\operatorname{sinh} t,\\ \operatorname{cosh} t\bigr).]

Passo 5

Calcular normas necessárias.
  • Norma de \gamma'(t):
\bigl\|\gamma'(t)\bigr\|^2 = 1^2 + \operatorname{sinh}^2 t + \operatorname{cosh}^2 t.
Usando \operatorname{cosh}^2 t=1+\operatorname{sinh}^2 t obtemos
\bigl\|\gamma'(t)\bigr\|^2 = 1 + \operatorname{sinh}^2 t + (1+\operatorname{sinh}^2 t) = 2 + 2\operatorname{sinh}^2 t = 2(1+\operatorname{sinh}^2 t).
Mas 1+\operatorname{sinh}^2 t=\operatorname{cosh}^2 t. Logo
\bigl\|\gamma'(t)\bigr\|^2 = 2\operatorname{cosh}^2 t, \qquad\text{ou seja}\qquad \bigl\|\gamma'(t)\bigr\| = \sqrt{2}\,\operatorname{cosh} t.
  • Norma de \gamma'(t)\times\gamma''(t):
\bigl\|\gamma'(t)\times\gamma''(t)\bigr\|^2 = (-1)^2 + (-\operatorname{sinh} t)^2 + (\operatorname{cosh} t)^2 = 1 + \operatorname{sinh}^2 t + \operatorname{cosh}^2 t.
Este é exatamente o mesmo valor que calculamos para \|\gamma'\|^2, portanto
\bigl\|\gamma'(t)\times\gamma''(t)\bigr\| = \sqrt{2}\,\operatorname{cosh} t.
Observação simpática: neste caso particular \bigl\|\gamma'(t)\bigr\|=\bigl\|\gamma'(t)\times\gamma''(t)\bigr\|=\sqrt{2}\operatorname{cosh} t.

Passo 6

Calcular a curvatura \kappa(t) usando a fórmula
\kappa(t)=\frac{\bigl\|\gamma'(t)\times\gamma''(t)\bigr\|}{\bigl\|\gamma'(t)\bigr\|^3}.
Substituindo os valores obtidos:
\kappa(t)=\frac{\sqrt{2}\,\operatorname{cosh} t}{\bigl(\sqrt{2}\,\operatorname{cosh} t\bigr)^3} = \frac{\sqrt{2}\,\operatorname{cosh} t}{2^{3/2}\,\operatorname{cosh}^3 t}.
Simplificando (corta-se \sqrt{2} e factor \operatorname{cosh} t):
\kappa(t)=\frac{1}{2\operatorname{cosh}^2 t}.

Passo 7

Calcular a torção \tau(t). Usamos
\tau(t)=\frac{\bigl(\gamma'(t)\times\gamma''(t)\bigr)\cdot\gamma'''(t)}{\bigl\|\gamma'(t)\times\gamma''(t)\bigr\|^2}.
Primeiro o produto escalar no numerador. Já temos \gamma'(t)\times\gamma''(t)=(-1,-\operatorname{sinh} t,\operatorname{cosh} t) e \gamma'''(t)=(0,\operatorname{sinh} t,\operatorname{cosh} t). Então
\bigl(\gamma'\times\gamma''\bigr)\cdot\gamma''' = (-1)\cdot 0 + (-\operatorname{sinh} t)\cdot\operatorname{sinh} t + \operatorname{cosh} t\cdot\operatorname{cosh} t = -\operatorname{sinh}^2 t + \operatorname{cosh}^2 t.
Usando \operatorname{cosh}^2 t-\operatorname{sinh}^2 t=1 obtemos que o numerador vale 1.
O denominador é \bigl\|\gamma'\times\gamma''\bigr\|^2, que calculamos antes como 2\operatorname{cosh}^2 t. Portanto
\tau(t)=\frac{1}{2\operatorname{cosh}^2 t}.

Passo 8

Resultado final e observação curta: tanto a curvatura quanto a torção coincidem para esta curva:
\kappa(t)=\tau(t)=\frac{1}{2\operatorname{cosh}^2 t}.
Isto significa que a curva tem curvatura e torção iguais em cada ponto; detalhe curioso que às vezes acontece em curvas tipo hélice adequada, mas aqui é só um comentário adicional.

Resposta

\kappa(t)=\dfrac{1}{2\operatorname{cosh}^2 t}
\tau(t)=\dfrac{1}{2\operatorname{cosh}^2 t}

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