Aqui \gamma'(t) é a derivada primeira (velocidade), \gamma''(t) é a derivada segunda (aceleração), o símbolo \times é o produto vetorial e \|\cdot\| é a norma euclidiana. Intuição: \|\gamma'\times\gamma''\| mede quão “curva” é a trajetória e dividir por \|\gamma'\|^3 corrige para o parâmetro (para obter uma quantidade geométrica independente da velocidade de parametrização).
Torção: a torção mede a saída do plano osculador e pode ser escrita como
onde \cdot é o produto escalar e \gamma'''(t) é a derivada terceira. Intuição: o numerador é o produto misto (triple scalar product) que mede a componente de \gamma''' perpendicular ao plano gerado por \gamma' e \gamma''.
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo.
Passo 3
Calcular as derivadas de \gamma(t). Lembretes: \dfrac{d}{dt}\operatorname{cosh} t=\operatorname{sinh} t e \dfrac{d}{dt}\operatorname{sinh} t=\operatorname{cosh} t.
Calcular o produto vetorial \gamma'(t)\times\gamma''(t).
Usando a fórmula componente a componente:
\gamma'(t)\times\gamma''(t) = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] 1 & \operatorname{sinh} t & \operatorname{cosh} t\\[4pt] 0 & \operatorname{cosh} t & \operatorname{sinh} t \end{vmatrix}.
Calculando cada componente:
Componente x: \operatorname{sinh} t\cdot\operatorname{sinh} t - \operatorname{cosh} t\cdot\operatorname{cosh} t = \operatorname{sinh}^2 t - \operatorname{cosh}^2 t.
Componente y: \operatorname{cosh} t\cdot 0 - 1\cdot\operatorname{sinh} t = -\operatorname{sinh} t.
Componente z: 1\cdot\operatorname{cosh} t - \operatorname{sinh} t\cdot 0 = \operatorname{cosh} t.
Agora usamos a identidade hiperbólica fundamental \operatorname{cosh}^2 t-\operatorname{sinh}^2 t=1. Assim \operatorname{sinh}^2 t-\operatorname{cosh}^2 t=-1. Portanto:
Primeiro o produto escalar no numerador. Já temos \gamma'(t)\times\gamma''(t)=(-1,-\operatorname{sinh} t,\operatorname{cosh} t) e \gamma'''(t)=(0,\operatorname{sinh} t,\operatorname{cosh} t). Então
\bigl(\gamma'\times\gamma''\bigr)\cdot\gamma''' = (-1)\cdot 0 + (-\operatorname{sinh} t)\cdot\operatorname{sinh} t + \operatorname{cosh} t\cdot\operatorname{cosh} t = -\operatorname{sinh}^2 t + \operatorname{cosh}^2 t.
Usando \operatorname{cosh}^2 t-\operatorname{sinh}^2 t=1 obtemos que o numerador vale 1.
O denominador é \bigl\|\gamma'\times\gamma''\bigr\|^2, que calculamos antes como 2\operatorname{cosh}^2 t. Portanto
\tau(t)=\frac{1}{2\operatorname{cosh}^2 t}.
Passo 8
Resultado final e observação curta: tanto a curvatura quanto a torção coincidem para esta curva:
Isto significa que a curva tem curvatura e torção iguais em cada ponto; detalhe curioso que às vezes acontece em curvas tipo hélice adequada, mas aqui é só um comentário adicional.