Seja \alpha: I \rightarrow \mathbb{R}^{3} uma curva regular, parametrizada pelo comprimento de arco, tal que k(s)>0, \forall s \in I. Obtenha \alpha^{\prime \prime \prime}(s) como combinação linear do triedro de Frenet de \alpha em s.

Passo 1

O enunciado dá uma curva regular \alpha:I\to\mathbb{R}^3 parametrizada por comprimento de arco, isto é \|\alpha'(s)\|=1 para todo s\in I, e com curvatura k(s)>0 para todo s.
A pergunta é: obter \alpha^{\prime\prime\prime}(s) como combinação linear do triedro de Frenet em s.
Informações relevantes fornecidas:
  • \alpha'(s) existe e tem norma 1 (parametrização por arco);
  • k(s)=\| \alpha''(s)\|>0;
  • pede-se expressar \alpha^{\prime\prime\prime}(s) em termos de T(s),N(s),B(s) (o triedro de Frenet) e das grandezas escalares k(s) e \tau(s).

Passo 2

Definições e significado das quantidades que vamos usar (cada variável explicada):
  • Vetor tangente unitário: T(s)=\alpha'(s). Como a curva é parametrizada por arco, tem-se \|T(s)\|=1.
  • Curvatura: k(s)=\|T'(s)\|=\|\alpha''(s)\|. É a taxa de variação do vetor tangente em módulo; como dado, k(s)>0.
  • Vetor normal principal: N(s)=\dfrac{T'(s)}{k(s)}. Este vetor tem norma 1 e aponta na direção em que T está mudando.
  • Binormal: B(s)=T(s)\times N(s). Os três vetores T,N,B formam uma base ortonormal (o triedro de Frenet) em pontos onde k>0.
  • Torção: define-se a torsão \tau(s) pela relação \tau(s) = -B'(s)\cdot N(s). A torsão mede a inclinação do plano osculador; é o coeficiente que aparecerá nas fórmulas de Frenet-Serret.
Aqui cada símbolo significa:
  • T(s): direção tangente unitária;
  • N(s): direção normal unitária (direção de T'(s));
  • B(s): binormal unitário, ortogonal a T e N;
  • k(s): curvatura escalar, k(s)>0;
  • \tau(s): torsão escalar.

Passo 3

Obter as fórmulas de Frenet-Serret necessárias (e justificar rapidamente):
  1. Primeiro, porque \|T(s)\|=1 para todo s, derivando \;T(s)\cdot T(s)=1\; obtemos
2\,T'(s)\cdot T(s)=0\quad\Rightarrow\quad T'(s)\perp T(s).
Logo T'(s) é um vetor perpendicular a T e, por definição de curvatura e N, tem que ser múltiplo de N. Escrevemos então a identidade (a primeira fórmula de Frenet):
T'(s)=k(s)\,N(s).
Isto é apenas a definição reescrita: N(s)=T'(s)/k(s).
  1. Vamos escrever N'(s) como combinação linear da base ortonormal \{T,N,B\}. Como \|N\|=1, tem-se N'(s)\cdot N(s)=0, então
N'(s)=a(s)\,T(s)+b(s)\,B(s)
para alguns escalares a(s),b(s). Determinamos a(s) e b(s) via produto escalar:
  • Tomando produto escalar com T(s): derivando N\cdot T=0
N'(s)\cdot T(s)+N(s)\cdot T'(s)=0.
Mas T'(s)=k(s)N(s), então N(s)\cdot T'(s)=k(s). Portanto
N'(s)\cdot T(s) = -k(s).
Como N'(s)\cdot T(s)=a(s), obtemos a(s)=-k(s).
  • Para b(s): derivando N(s)\cdot B(s)=0 obtemos
N'(s)\cdot B(s)+N(s)\cdot B'(s)=0\quad\Rightarrow\quad N'(s)\cdot B(s)=-N(s)\cdot B'(s).
Definindo a torsão por \tau(s)=-B'(s)\cdot N(s) (definição padrão), segue que
N'(s)\cdot B(s)=\tau(s).
Assim b(s)=\tau(s).
Portanto a segunda fórmula de Frenet fica
N'(s)=-k(s)\,T(s)+\tau(s)\,B(s).
  1. A terceira fórmula decorre (opcional aqui) de diferenciar B=T\times N e usar as anteriores; ela é
B'(s)=-\tau(s)\,N(s).
Essas três relações são as fórmulas de Frenet-Serret usadas a seguir.

Passo 4

Agora calculamos \alpha^{\prime\prime\prime}(s). Como \alpha'(s)=T(s) e \alpha''(s)=T'(s)=k(s)N(s), aplicamos a regra do produto (derivada de um produto escalar de escalar por vetor) para derivar \alpha''(s)=k(s)N(s):
\alpha^{\prime\prime\prime}(s)=\big(k(s)N(s)\big)'=k'(s)\,N(s)+k(s)\,N'(s).
Substituímos a expressão de N'(s) obtida nas fórmulas de Frenet:
N'(s)=-k(s)\,T(s)+\tau(s)\,B(s).
Logo
\alpha^{\prime\prime\prime}(s)=k'(s)\,N(s)+k(s)\big(-k(s)\,T(s)+\tau(s)\,B(s)\big).

Passo 5

Organizando os termos em ordem T,N,B obtemos a combinação linear procurada:
\alpha^{\prime\prime\prime}(s) = -k(s)^2\,T(s) + k'(s)\,N(s) + k(s)\tau(s)\,B(s).
Esta é a expressão de \alpha^{\prime\prime\prime}(s) no triedro de Frenet: o coeficiente de T é -k^2, o de N é k' e o de B é k\tau. (Interpretação rápida: a componente tangencial vem de curvatura ao quadrado negativo, a componente normal acompanha a variação da curvatura, e a componente binormal envolve a curvatura multiplicada pela torsão.)

Resposta

\alpha^{\prime\prime\prime}(s) = -k(s)^{2}\,T(s) + k'(s)\,N(s) + k(s)\,\tau(s)\,B(s)

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