Seja
uma curva regular, parametrizada pelo comprimento de arco, tal que
. Obtenha
como combinação linear do triedro de Frenet de
em
.
Passo 1
O enunciado dá uma curva regular
parametrizada por comprimento de arco, isto é
para todo
, e com curvatura
para todo
.
A pergunta é: obter como combinação linear do triedro de Frenet em
.
Informações relevantes fornecidas:
A pergunta é: obter
Informações relevantes fornecidas:
-
existe e tem norma (parametrização por arco); -
; - pede-se expressar
em termos de (o triedro de Frenet) e das grandezas escalares e .
Passo 2
Definições e significado das quantidades que vamos usar (cada variável explicada):
- Vetor tangente unitário:
. Como a curva é parametrizada por arco, tem-se . - Curvatura:
. É a taxa de variação do vetor tangente em módulo; como dado, . - Vetor normal principal:
. Este vetor tem norma e aponta na direção em que está mudando. - Binormal:
. Os três vetores formam uma base ortonormal (o triedro de Frenet) em pontos onde . - Torção: define-se a torsão
pela relação . A torsão mede a inclinação do plano osculador; é o coeficiente que aparecerá nas fórmulas de Frenet-Serret.
Aqui cada símbolo significa:
-
: direção tangente unitária; -
: direção normal unitária (direção de ); -
: binormal unitário, ortogonal a e ; -
: curvatura escalar, ; -
: torsão escalar.
Passo 3
Obter as fórmulas de Frenet-Serret necessárias (e justificar rapidamente):
- Primeiro, porque
para todo , derivando obtemos
Logo
é um vetor perpendicular a
e, por definição de curvatura e
, tem que ser múltiplo de
. Escrevemos então a identidade (a primeira fórmula de Frenet):
Isto é apenas a definição reescrita:
.
- Vamos escrever
como combinação linear da base ortonormal . Como , tem-se , então
para alguns escalares
. Determinamos
e
via produto escalar:
- Tomando produto escalar com
: derivando dá
Mas
, então
. Portanto
Como
, obtemos
.
- Para
: derivando obtemos
Definindo a torsão por
(definição padrão), segue que
Assim
.
Portanto a segunda fórmula de Frenet fica
- A terceira fórmula decorre (opcional aqui) de diferenciar
e usar as anteriores; ela é
Essas três relações são as fórmulas de Frenet-Serret usadas a seguir.
Passo 4
Agora calculamos
. Como
e
, aplicamos a regra do produto (derivada de um produto escalar de escalar por vetor) para derivar
:
Substituímos a expressão de
obtida nas fórmulas de Frenet:
Logo
Passo 5
Organizando os termos em ordem
obtemos a combinação linear procurada:
Esta é a expressão de
no triedro de Frenet: o coeficiente de
é
, o de
é
e o de
é
. (Interpretação rápida: a componente tangencial vem de curvatura ao quadrado negativo, a componente normal acompanha a variação da curvatura, e a componente binormal envolve a curvatura multiplicada pela torsão.)