Calcule d^100d x^100(e^x sin (x)).

Passo 1

O enunciado pede a derivada de ordem 100 de ,e^xsin x. O conteúdo envolve derivadas sucessivas de exponencial e função trigonométrica, cujo padrão periódico de ordem 4 pode ser explorado de forma elegante via representação complexa.

Passo 2

Escrevemos
e^xsin x = Iml(e^(1+i)xr)
Como
d^ndx^ne^(1+i)x=(1+i)^n,e^(1+i)x,
segue que
d^ndx^nl(e^xsin xr) =Iml((1+i)^n e^(1+i)xr)

Passo 3

Observamos que
(1+i)^n=(raiz2)^n e^i npi/4 =2^tfrac n2l(costfracnpi4+isintfracnpi4r)
Multiplicando por e^(1+i)x=e^x(cos x+isin x) e tomando a parte imaginária, achamos
d^ndx^nl(e^xsin xr) =2^tfrac n2e^xl(sin xcostfracnpi4+cos xsintfracnpi4r)

Passo 4

Para n=100 temos
costfrac100pi4=cos(25pi)=-1, sintfrac100pi4=sin(25pi)=0
Logo da fórmula acima resulta
d^100dx^100l(e^xsin xr) =2^50e^xl(-sin xr) =-2^50e^xsin x

Resposta

d^100dx^100l(e^xsin xr) =-2^50e^xsin x

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