Mediante a fórmula de Leibniz, calcule a derivada a seguir.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de ordem 30 de l(x^2+1r)sin x usando a fórmula de Leibniz para derivada de produto, que diz:
l(u(x)v(x)r)^(n) =sumk=0^nbinomnk,u^(k)(x),v^(n-k)(x)

Passo 2

Identificamos
u(x)=x^2+1, v(x)=sin x
Calculamos as derivadas de u:
u^(0)(x)=x^2+1, u^(1)(x)=2x, u^(2)(x)=2, u^(k)(x)=0para k>=3

Passo 3

Aplicando a fórmula de Leibniz para n=30, só há termos não nulos para k=0,1,2:
l[(x^2+1)sin xr]^(30) =sumk=0^2binom30k,u^(k)(x),v^(30-k)(x)

Passo 4

Precisamos então de v^(28)(x), v^(29)(x) e v^(30)(x). Como sin x é periódica de período 4 em derivadas:
v^(m)(x)=sin!l(x+tfracmpi2r)
Logo,
v^(30)(x)=sinl(x+15pir)=-sin x,
v^(29)(x)=sinl(x+14pi+tfracpi2r)=cos x,
v^(28)(x)=sinl(x+14pir)=sin x

Passo 5

Substituindo tudo:
l[(x^2+1)sin xr]^(30) &=binom300(x^2+1)l(-sin xr) +binom301(2x)l(cos xr) &+binom302(2)l(sin xr)
Sabendo binom301=30 e binom302=435, obtemos
=-(x^2+1)sin x + 60xcos x + 870sin x

Passo 6

Agrupando os termos em sin x:
-(x^2+1)sin x + 870sin x =(869 - x^2),sin x
Portanto a derivada final é
(869 - x^2)sin x + 60xcos x

Resposta

l[(x^2+1)sin xr]^(30) =(869 - x^2)sin x + 60xcos x

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