Calcule d^50d x^50(sin xx).

Passo 1

O enunciado pede a derivada de ordem 50 da função
f(x)=sin xx
O conteúdo que vamos usar é a expansão em série de Maclaurin de f e a ideia de diferenciar termo a termo.

Passo 2

Começamos escrevendo a série de Maclaurin de f. Sabemos que
sin x=sumk=0^infty(-1)^kx^2k+1(2k+1)!,
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sin xx =sumk=0^infty(-1)^kx^2k(2k+1)!

Passo 3

Agora aplicamos a derivada de ordem 50 termo a termo. Um termo genérico é
(-1)^kx^2k(2k+1)!,
e, para 2k>=50,
d^50dx^50l(x^2kr) =(2k)!(2k-50)!,x^2k-50,
enquanto para 2k<50 o termo some. Assim
d^50dx^50l(sin xxr) =sumk=25^infty(-1)^k(2k)!(2k-50)!,x^2k-50(2k+1)!

Passo 4

Fazendo a mudança de índice k=m+25, com m>=0, ficamos com
summ=0^infty(-1)^m+25(2m+50)!(2m)!,x^2m(2m+51)!
Note que
(2m+50)!(2m+51)! =12m+51,
então
(2m+50)!(2m)!,(2m+51)! =1(2m)!,(2m+51)
Como (-1)^25=-1, obtemos
d^50dx^50l(sin xxr) =-summ=0^infty(-1)^mx^2m(2m)!,(2m+51)

Resposta

d^50dx^50l(sin xxr) =-summ=0^infty(-1)^mx^2m(2m)!,(2m+51)

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