Calcule d^50d x^50(cos (x) sin (x)).

Passo 1

O enunciado pede a 50ª derivada da função cos(x)sin(x). O conteúdo envolve derivação de funções trigonométricas de ordem n e uso de identidade trigonométrica para simplificar o produto.

Passo 2

Usamos a identidade
cos(x)sin(x) = tfrac12 sin(2x),
assim, definimos f(x)=cos(x)sin(x)=tfrac12sin(2x).

Passo 3

Para a função g(x)=sin(ax), vale a fórmula geral
d^ndx^nsin(ax)=a^nsinl(ax+tfracnpi2r)
Aplicando essa fórmula a f(x)=tfrac12sin(2x), temos
d^ndx^nf(x) =12cdot 2^nsin!l(2x+tfracnpi2r) =2^,n-1sin!l(2x+tfracnpi2r)

Passo 4

Agora, para n=50:
d^50dx^50f(x) =2^50-1sinl(2x+tfrac50pi2r) =2^49sinl(2x+25pir)
Como sin(2x+25pi)=sin(2x+picdot(2cdot12+1))=-sin(2x), obtemos
d^50dx^50l(cos(x)sin(x)r) =-2^49sin(2x)

Resposta

-2^49sin(2x)

Exercícios relacionados