Calcule d^7d t^7(t^3 cos (t)).

Passo 1

O enunciado pede a sétima derivada de ,t^3cos t.
Conteúdo: derivada de ordem alta de produto de funções.
Vamos usar a regra de Leibniz para derivadas de um produto e a periodicidade das derivadas de cos t.

Passo 2

A regra de Leibniz para a n-ésima derivada de u(t)v(t) é
d^ndt^n[u,v] =sumk=0^nbinomnk,u^(k)(t),v^(n-k)(t)
Aqui u(t)=t^3 e v(t)=cos t. Calculamos as derivadas de u:
u^(0)=t^3, u^(1)=3t^2, u^(2)=6t, u^(3)=6, u^(k)=0 para k>=4

Passo 3

As derivadas de cos t são periódicas de período 4, e de fato
d^mdt^mcos t =cosl(t+tfracmpi2r)
Vamos usar isso para m=7,6,5,4.

Passo 4

Pela regra de Leibniz com n=7, só aparecem termos k=0,1,2,3:
d^7dt^7[t^3cos t] =sumk=0^3binom7ku^(k)(t),cosl(t+tfrac(7-k)pi2r)
Calculando cada um:
k =0: binom70t^3cosl(t+tfrac7pi2r) =t^3cosl(t+3pi+tfracpi2r)=t^3,sin t
k =1: binom713t^2cosl(t+tfrac6pi2r) =7cdot3t^2cos(t+3pi)=-21t^2cos t
k =2: binom726tcosl(t+tfrac5pi2r) =21cdot6tcosl(t+2pi+tfracpi2r) =126tl(-sin tr)=-126tsin t
k =3: binom736cosl(t+tfrac4pi2r) =35cdot6cos(t+2pi)=210cos t
Somando:
t^3sin t ;-;21t^2cos t;-;126tsin t;+;210cos t

Passo 5

Agrupando termos em sin t e cos t:
(t^3-126t),sin t ;+;(210-21t^2),cos t =,(t^3-126t)sin t+21(10-t^2)cos t

Resposta

d^7dt^7l(t^3cos tr) =(t^3-126t),sin t +21,(10-t^2),cos t

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