Calcule
.
Passo 1
O enunciado pede a sétima derivada de
.
Conteúdo: derivada de ordem alta de produto de funções.
Vamos usar a regra de Leibniz para derivadas de um produto e a periodicidade das derivadas de .
Conteúdo: derivada de ordem alta de produto de funções.
Vamos usar a regra de Leibniz para derivadas de um produto e a periodicidade das derivadas de
Passo 2
A regra de Leibniz para a
-ésima derivada de
é
Aqui
e
. Calculamos as derivadas de
:
Passo 3
As derivadas de
são periódicas de período
, e de fato
Vamos usar isso para
.
Passo 4
Pela regra de Leibniz com
, só aparecem termos
:
Calculando cada um:
k
:
k
:
k
:
k
:
Somando:
Passo 5
Agrupando termos em
e
: