Seja f(x)=1-x1+x. Determine a fórmula para n-ésima derivada de f (f^(n)).

Passo 1

O enunciado pede a derivada de ordem n de
f(x)=1-x1+x
O conteúdo é diferenciação de funções do tipo (1+x)^alpha e vamos usar uma reescrita algébrica para facilitar.

Passo 2

Reescrevemos f(x) numa soma de termos mais simples:
f(x)=1-x1+x =1+x-2x1+x =1-2x1+x
Como x1+x=1-11+x, vem
f(x)=1-2l(1-11+xr) =-1+21+x

Passo 3

Sabemos que a derivada de ordem n de (1+x)^-1 é dada por
d^ndx^n(1+x)^-1 =(-1)^n,n!,(1+x)^-1-n

Passo 4

Como f(x)=-1+2(1+x)^-1, a parte constante -1 some nas derivadas, e o fator 2 sai multiplicando. Logo,
f^(n)(x) =2;d^ndx^n(1+x)^-1 =2,(-1)^n,n!,(1+x)^-n-1

Resposta

f^(n)(x)=2,(-1)^n,n!,(1+x)^-n-1

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