Seja f(x)=1(2 x+1)^2. Determine a fórmula para n-ésima derivada de f (f^(n)).

Passo 1

O enunciado apresenta a função
f(x)=1(2x+1)^2
e pede a sua derivada de ordem n. O conteúdo envolve derivadas de funções do tipo (ax+b)^m, para as quais existe uma fórmula geral para a n-ésima derivada.

Passo 2

Reescrevendo
f(x)=(2x+1)^-2,
vemos que aqui a=2, b=1 e m=-2. A fórmula geral para a n-ésima derivada de (ax+b)^m é
d^ndx^n(ax+b)^m = m,(m-1)cdots(m-n+1);a^n;(ax+b)^,m-n

Passo 3

No nosso caso o coeficiente m(m-1)cdots(m-n+1) vira
(-2)(-3)cdots(-2-n+1) =prodk=0^n-1(-2-k)
Como -2-k=-(k+2), extraímos (-1)^n e sobra
prodr=2^n+1r=(n+1)!,
portanto
prodk=0^n-1(-2-k)=(-1)^n(n+1)!

Passo 4

Substituindo na fórmula geral, obtemos
f^(n)(x) =(-1)^n(n+1)!,2^n,(2x+1)^-2-n

Resposta

f^(n)(x)=(-1)^n,2^n,(n+1)!,(2x+1)^-n-2

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