Considerando a função
, marque as afirmativas verdadeiras:
Escolha uma ou mais:
A função não possui assíntotas verticais;
A função possui assíntota vertical em
;
A função possui assíntota horizontal em
;
A função possui assíntota horizontal em
;
A função possui assíntota vertical em
;
A função não possui assíntotas horizontais;
Escolha uma ou mais:
A função não possui assíntotas verticais;
A função possui assíntota vertical em
A função possui assíntota horizontal em
A função possui assíntota horizontal em
A função possui assíntota vertical em
A função não possui assíntotas horizontais;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x) = \frac{e{-\frac{1}{x{2}}}}{x} $ e precisa descobrir quais das afirmações sobre suas assíntotas são verdadeiras. Para isso, vamos usar conceitos de limites e comportamento de funções. Precisaremos entender o que são assíntotas verticais e horizontais e como determinar se a função as possui.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre assíntotas verticais. Essas são retas do tipo $ x = a $ onde a função cresce sem limites quando $ x $ se aproxima de $ a $. Ou seja, se $ \lim_{x \to a} f(x) = \pm \infty $, então $ x = a $ é uma assíntota vertical.
Passo 3
Agora, vamos analisar se a função tem assíntotas verticais. Olhando para $ f(x) = \frac{e{-\frac{1}{x{2}}}}{x} $, percebemos que o denominador é $ x $. Se $ x = 0 $, o denominador se torna zero, o que pode indicar uma assíntota vertical em $ x = 0 $. Para confirmar, calculamos o limite:
O numerador $ e{-\frac{1}{x{2}}} $ tende a zero muito rapidamente quando $ x $ se aproxima de zero, fazendo com que o limite seja zero. Portanto, não há uma assíntota vertical em $ x = 0 $.
Além disso, não há outras palavras-chave na função que indiquem possíveis assíntotas verticais, então a função não possui assíntotas verticais.
Passo 4
Agora, vamos para as assíntotas horizontais. Essas são retas do tipo $ y = b $ que a função se aproxima quando $ x $ vai para mais ou menos infinito. Ou seja, se $ \lim_{x \to \infty} f(x) = b $ ou $ \lim_{x \to -\infty} f(x) = b $, então $ y = b $ é uma assíntota horizontal.
Passo 5
Vamos calcular o limite da função quando $ x $ vai para o infinito:
E quando $ x $ vai para menos infinito:
Então, a função se aproxima de $ y = 0 $ tanto quando $ x $ vai para $ \infty $ quanto para $ -\infty $. Isso significa que $ y = 0 $ é uma assíntota horizontal da função.
Passo 6
Vamos revisar as afirmações:
- A função não possui assíntotas verticais; – Verdadeira.
- A função possui assíntota vertical em $ x = 1 $; – Falsa.
- A função possui assíntota horizontal em $ y = 0 $; – Verdadeira.
- A função possui assíntota horizontal em $ y = 1 $; – Falsa.
- A função possui assíntota vertical em $ x = 0 $; – Falsa.
- A função não possui assíntotas horizontais; – Falsa.
Resposta
As afirmações I (A) e III © são verdadeiras.