Verifique se as EDOs de
ordem abaixo são exatas e resolva-as.
x \frac{d y}{d x}=2 x e^{x}-y+6 x^{2}
x \frac{d y}{d x}=2 x e^{x}-y+6 x^{2}
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a EDO de 1ª ordem
x \frac{dy}{dx} = 2 x e^{x} - y + 6 x^{2}
é exata e, em caso afirmativo, resolvê-la. Vamos precisar reescrever a equação na forma
M(x,y) + N(x,y),y’ = 0,
verificar se
e, se for exata, encontrar a função potencial.
Passo 2
Primeiro isolamos tudo de um lado:
Daí identificamos
M(x,y) = y - 2x e^{x} - 6x^{2},
N(x,y) = x.
Passo 3
Agora verificamos a condição de exatidão:
Como são iguais, a equação é exata.
Passo 4
Para achar a função potencial
satisfazendo
integramos
em relação a
:
$$F(x,y) = \int\bigl(y - 2x e^{x} - 6x^{2}\bigr)dx = xy - 2\int x e^{x}dx - 6\int x^{2}dx + h(y).
= xy - 2x e^{x} + 2e^{x} - 2x^{3} + h(y).
$$
Passo 5
Agora impomos
:
$$\frac{\partial F}{\partial y} = x + h’(y) = x \implies h’(y)=0 \implies h(y)=C_{1}.
$$
Resposta
xy - 2x e^{x} + 2e^{x} - 2x^{3} = C