Verifique se as EDOs de 1^0 ordem abaixo são exatas e resolva-as.
x \frac{d y}{d x}=2 x e^{x}-y+6 x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a EDO de 1ª ordem
x \frac{dy}{dx} = 2 x e^{x} - y + 6 x^{2}
é exata e, em caso afirmativo, resolvê-la. Vamos precisar reescrever a equação na forma
M(x,y) + N(x,y),y’ = 0,
verificar se partial M/partial y = partial N/partial x e, se for exata, encontrar a função potencial.

Passo 2

Primeiro isolamos tudo de um lado:
xdydx + y - 2x e^x - 6x^2 = 0
Daí identificamos
M(x,y) = y - 2x e^{x} - 6x^{2},
N(x,y) = x.

Passo 3

Agora verificamos a condição de exatidão:
partial Mpartial y = 1,
partial Npartial x = 1
Como são iguais, a equação é exata.

Passo 4

Para achar a função potencial F(x,y) satisfazendo
partial F/partial x = M e partial F/partial y = N,
integramos M em relação a x:
$$F(x,y) = \int\bigl(y - 2x e^{x} - 6x^{2}\bigr)dx = xy - 2\int x e^{x}dx - 6\int x^{2}dx + h(y).
F(x,y) = integrall(y - 2x e^x - 6x^2r)dx = xy - 2integral x e^xdx - 6integral x^2dx + h(y) F = xy - 2\bigl(x e^{x} - e^{x}\bigr) - 2x^{3} + h(y)
= xy - 2x e^{x} + 2e^{x} - 2x^{3} + h(y).
$$

Passo 5

Agora impomos partial F/partial y = N = x:
$$\frac{\partial F}{\partial y} = x + h’(y) = x \implies h’(y)=0 \implies h(y)=C_{1}.
partial Fpartial y = x + h'(y) = x implies h'(y)=0 implies h(y)=C1 çãíéF(x,y) = xy - 2x e^{x} + 2e^{x} - 2x^{3} = C,
F(x,y) = xy - 2x e^x + 2e^x - 2x^3 = C, y = \frac{C + 2x e^{x} - 2e^{x} + 2x^{3}}{x}.
$$

Resposta

xy - 2x e^{x} + 2e^{x} - 2x^{3} = C

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