Determine
dado que
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a função f(x,y,z)=z·e{x+y{2}} e queremos calcular a derivada parcial de ordem quatro f_{x y z x}. O conteúdo aqui é derivadas parciais sucessivas e vamos usar a definição de derivada parcial e a regra da cadeia passo a passo.
Passo 2
Para começar, calculamos f_{x}, ou seja, derivamos f em relação a x tratando y e z como constantes. Como f(x,y,z)=z·e{x+y{2}}, temos z constante e a derivada de e{x+y{2}} em relação a x é e{x+y{2}}. Logo, f_{x}(x,y,z)=z·e{x+y{2}}.
Passo 3
Agora derivamos f_{x} em relação a y para obter f_{x y}. Nesse caso, f_{x}(x,y,z)=z·e{x+y{2}}, onde z e e{x+y{2}} são funções de y (z é constante, mas o expoente depende de y). Aplicando a regra da cadeia, a derivada de e{x+y{2}} em relação a y é e{x+y{2}}·2y. Assim, f_{x y}(x,y,z)=2y·z·e{x+y{2}}.
Passo 4
Em seguida, derivamos f_{x y} em relação a z para obter f_{x y z}. Como f_{x y}(x,y,z)=2y·z·e{x+y{2}}, aqui y e e{x+y{2}} são constantes em relação a z, então a derivada em z é simplesmente o coeficiente 2y·e{x+y{2}}. Portanto, f_{x y z}(x,y,z)=2y·e{x+y{2}}.
Passo 5
Por fim, derivamos f_{x y z} em relação a x para obter f_{x y z x}. Temos f_{x y z}(x,y,z)=2y·e{x+y{2}}, onde 2y é constante e derivamos e{x+y{2}} em relação a x. Usando regra da cadeia, a derivada é 2y·e{x+y{2}}. Então f_{x y z x}(x,y,z)=2y·e{x+y{2}}.
Resposta
f_{x y z x}(x,y,z)=2y·e{x+y{2}}