Calcule:
d) integral raizx^2+9 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral raizx^2+9,dx, que é uma integral de função irracional. Vamos usar substituição hiperbólica para transformar a raiz em funções cosh e simplificar o cálculo.

Passo 2

Fazendo a troca
x = 3sinh t, dx = 3cosh t,dt,
observamos também que
raizx^2+9 = raiz9sinh^2t + 9 = 3cosh t

Passo 3

Substituindo na integral inicial, temos
integral raizx^2+9,dx = integral (3cosh t),(3cosh t,dt) = 9integral cosh^2t,dt

Passo 4

Usando a identidade hiperbólica cosh^2t = tfraccosh 2t + 12, reescrevemos a integral
9integral cosh^2t,dt = 92integral (cosh 2t + 1),dt

Passo 5

Integramos termo a termo:
92integral (cosh 2t +1),dt = 92l(tfrac12sinh 2t + tr) + C = 94sinh 2t + 92t + C
e
.
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Passo 6

Para voltar a x, note que sinh 2t = 2sinh tcosh t. Assim
94sinh 2t = 92sinh tcosh t
e substituindo sinh t = tfracx3 e cosh t = tfracraizx^2+93, fica
92sinh tcosh t = 92 cdot x3cdotraizx^2+93 = x2raizx^2+9

Passo 7

Por fim, t = arsinh(x/3) = lnl(x + raizx^2+9r) - ln 3. O termo envolvendo -tfrac92ln3 entra na constante de integração, e obtemos
integral raizx^2+9,dx = x2raizx^2+9 + 92lnl(x + raizx^2+9r) + C

Resposta

x2raizx^2+9 + 92lnl(x + raizx^2+9r) + C

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