Calcule:
g) integral cos ^3 xsen^7 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de funções trigonométricas com potências elevadas: integral cos^3 xsin^7 x,dx. O conteúdo principal aqui é usar identidades trigonométricas e substituição adequada para integrar funções do tipo sin^m x e cos^n x.

Passo 2

Reescrevemos cos^3 x em função de sin x usando cos^2 x = 1 - sin^2 x. Assim: cos^3 x = cos xcdotcos^2 x = cos xl(1 - sin^2 xr). Então a integral fica
integral cos^3 xsin^7 x,dx = integral cos xl(1 - sin^2 xr)sin^7 x,dx = integral l(sin^-7 x - sin^-5 xr)cos x,dx

Passo 3

Fazemos a substituição u = sin x. Então du = cos x,dx. Assim a integral em x vira integral em u:
integral l(u^-7 - u^-5r),du

Passo 4

Integramos termo a termo usando integral u^n,du = u^n+1n+1 + C:
integral u^-7,du = u^-6-6, integral u^-5,du = u^-4-4

Passo 5

Logo,
integral l(u^-7 - u^-5r),du = u^-6-6 - u^-4-4 + C = -16u^-6 + 14u^-4 + C

Passo 6

Voltando a u = sin x, obtemos a primitiva em função de x.

Resposta

-tfrac16,sin^6 x + tfrac14,sin^4 x + C

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