Calcule:
g) integral raiz4 x^2+3 d x

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral indefinida integral raiz4x^2+3,dx. O tema é integrais de funções que envolvem raiz de polinômio quadrático, e vamos usar uma substituição que transforme raiz4x^2+3 em algo como raiz1+u^2.

Passo 2

Primeiro, fatoramos 4x^2+3 de modo a identificar uma expressão do tipo 1+u^2. Note que
4x^2+3=3l(1+4x^23r)=3l(1+u^2r)
se definirmos
u=2xraiz3, dx=raiz32,du
Substituindo na integral, temos
integralraiz4x^2+3,dx=integralraiz3l(1+u^2r)cdotraiz32,du=32integralraiz1+u^2,du

Passo 3

Em seguida, usamos a fórmula conhecida para integralraiz1+u^2,du, que é
integralraiz1+u^2,du=u2raiz1+u^2+12lnl(u+raiz1+u^2r)+C
Portanto,
32integralraiz1+u^2,du=32l[u2raiz1+u^2+12lnl(u+raiz1+u^2r)r]+C

Passo 4

Por fim, voltamos à variável x usando u=2x/raiz3 e simplificamos. O primeiro termo fica
3u4raiz1+u^2=34cdot2xraiz3cdotraiz4x^2+33=xraiz4x^2+32
O segundo termo pode ser escrito como
34lnl(2xraiz3+raiz1+tfrac4x^23r) =34lnl(2x+raiz4x^2+3r)+constante,
essa constante a mais se incorpora em C. Assim chegamos ao resultado final.

Passo 5

A forma mais limpa da primitiva é dada por
xraiz4x^2+32+34lnl(2x+raiz4x^2+3r)+C

Resposta

integralraiz4x^2+3,dx=xraiz4x^2+32+34lnl(2x+raiz4x^2+3r)+C.

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