Calcule as integrais dos exercícios 1-14.
integral0^pi / 2 sen^2 2 theta cos ^3 2 theta d theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida integral0^pi/2sin^2(2theta)cos^3(2theta),dtheta. O conteúdo principal é integração de funções trigonométricas usando identidades e mudança de variável.

Passo 2

Primeiro usamos a identidade cos^2(2theta)=1-sin^2(2theta) para separar a parte cúbica em termo que facilite a substituição. Assim:
sin^2(2theta),cos^3(2theta)=sin^2(2theta)l(1-sin^2(2theta)r),cos(2theta)

Passo 3

Agora fazemos a substituição u=sin(2theta). Então
du=2cos(2theta),dtheta Longrightarrow cos(2theta),dtheta=tfrac12,du
Os limites em theta são de 0 a pi/2, logo em u ficam
u(0)=sin0=0 e u(pi/2)=sinpi=0.
Substituindo na integral temos
integral0^pi/2sin^2(2theta)cos^3(2theta),dtheta=12integral0^0l(u^2-u^4r),du

Passo 4

BastA avaliar a integral em u. Como os limites são iguais, a integral é nula:
12integral0^0(u^2-u^4),du=0

Resposta

0

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