Calcule:
d)
d)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
. O conteúdo aqui é integração de função trigonométrica usando substituição (método de mudança de variável). Vamos usar isso para simplificar a integral.
Passo 2
Escolhemos a substituição
. Então temos
, ou seja,
. Quando
,
; quando
,
. A integral fica:
[
-\int_{u=1}^{u=1/2} u^2,du
]
[
-\int_{u=1}^{u=1/2} u^2,du
]
Passo 3
Agora calculamos a antiderivada de
. Temos:
[
-\int u^2,du = -\frac{u^3}{3} + C
] Aplicando os limites de a
:
[
-\frac{u3}{3}\Big|_{1}{1/2} = -\Bigl(\frac{(1/2)^3}{3} - \frac{1^3}{3}\Bigr) = -\Bigl(\frac{1}{24} - \frac{1}{3}\Bigr) = \frac{7}{24}.
]
[
-\int u^2,du = -\frac{u^3}{3} + C
] Aplicando os limites de
[
-\frac{u3}{3}\Big|_{1}{1/2} = -\Bigl(\frac{(1/2)^3}{3} - \frac{1^3}{3}\Bigr) = -\Bigl(\frac{1}{24} - \frac{1}{3}\Bigr) = \frac{7}{24}.
]
Resposta
\tfrac{7}{24}