Calcule:
d) integral0^pi3 cos ^2 x sen x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral0^pi3cos^2 xsin x,dx. O conteúdo aqui é integração de função trigonométrica usando substituição (método de mudança de variável). Vamos usar isso para simplificar a integral.

Passo 2

Escolhemos a substituição u = cos x. Então temos du = -sin x,dx, ou seja, sin x,dx = -du. Quando x=0, u=cos0=1; quando x=pi/3, u=cos(pi/3)=tfrac12. A integral fica:
[
-\int_{u=1}^{u=1/2} u^2,du
]

Passo 3

Agora calculamos a antiderivada de -u^2. Temos:
[
-\int u^2,du = -\frac{u^3}{3} + C
] Aplicando os limites de u=1 a u=tfrac12:
[
-\frac{u3}{3}\Big|_{1}{1/2} = -\Bigl(\frac{(1/2)^3}{3} - \frac{1^3}{3}\Bigr) = -\Bigl(\frac{1}{24} - \frac{1}{3}\Bigr) = \frac{7}{24}.
]

Resposta

\tfrac{7}{24}

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