Calcule as integrais dos exercícios 1-14.
integral0^pi / 4 8 cos ^3 2 theta sen 2 theta d theta

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular uma integral definida:
integral0^pi / 4 8 cos^3(2theta) sin(2theta) , dtheta
Aqui, trabalharemos com funções trigonométricas, especificamente com potências de cosseno e seno. Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas transformando-as em formas mais fáceis de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para facilitar o cálculo. Olhando para a integral, vemos que temos u = cos(2theta) e dudtheta = -2sin(2theta) . Vamos escolher substituir uma dessas partes.
Vamos definir:
sin(2theta) , dtheta = -du2
Agora, precisamos achar a derivada de em relação a :
Isso nos dá:

Passo 3

Agora, vamos reescrever a integral original em termos de integral 8 cos^3(2theta) sin(2theta) , dtheta = 8 integral u^3 (-du2) . Substituindo 8 times (-12) = -4 e -4 integral u^3 , du na integral, temos:
Simplificando os constantes:
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos integrar integral u^3 , du = u^44 + C em relação a -4 times u^44 = -u^4 + C :
Multiplicando pela constante :
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, voltamos à variável original - u^4 + C = -cos^4(2theta) + C substituindo :
Como estamos calculando uma integral definida de a , a constante não é necessária. Vamos avaliar a expressão de até .

Passo 6

Vamos calcular os valores nos limites de integração:
Para cos(2 times pi4) = cos(pi2) = 0 :
- cos^4(pi2) = -0^4 = 0
Então:
cos(2 times 0) = cos(0) = 1
Para - cos^4(0) = -1^4 = -1 :
Então:

Resposta

A integral é igual a 1.

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