Calcule as integrais dos exercícios 1-14.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular uma integral definida:
Aqui, trabalharemos com funções trigonométricas, especificamente com potências de cosseno e seno. Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas transformando-as em formas mais fáceis de calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para facilitar o cálculo. Olhando para a integral, vemos que temos
e
. Vamos escolher substituir uma dessas partes.
Vamos definir:
Agora, precisamos achar a derivada de
em relação a
:
Isso nos dá:
Passo 3
Agora, vamos reescrever a integral original em termos de
. Substituindo
e
na integral, temos:
Simplificando os constantes:
Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos integrar
em relação a
:
Multiplicando pela constante
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, voltamos à variável original
substituindo
:
Como estamos calculando uma integral definida de
a
, a constante
não é necessária. Vamos avaliar a expressão de
até
.
Passo 6
Vamos calcular os valores nos limites de integração:
Para
:
Então:
Para
:
Então:
Resposta
A integral
é igual a 1.