Calcule as integrais dos exercícios 1-14.
integral0^pi sen 2 x cos ^2 2 x d x

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral definida de uma função trigonométrica simples, mais precisamente integral0^pi sin2x,cos^2 2x,dx. O tema principal é a técnica de substituição (mudança de variável) em integrais.

Passo 2

Percebemos que a derivada de cos2x envolve sin2x. De fato, se fizermos u=cos2x, então
du = -2sin2x,dx Longrightarrow sin2x,dx = -tfrac12,du

Passo 3

Também temos cos^2 2x = u^2. Substituindo na integral original,
integral0^pi sin2x,cos^2 2x,dx = integralx=0^x=pi u^2l(-tfrac12,dur) = -tfrac12integralu=cos(2cdot0)^u=cos(2pi) u^2,du

Passo 4

Ao calcular os limites: quando x=0, u=cos0=1; quando x=pi, u=cos2pi=1. Logo
-tfrac12integral1^1 u^2,du = -tfrac12l[tfracu^33r]1^1 = -tfrac12,(tfrac1^33-tfrac1^33) = 0

Resposta

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