Calcule :
d) lim x 0 1-cos xsen x

Passo 1

O exercício pede para calcular o limite limxto01-cos xsin x. O conteúdo envolve limites de funções trigonométricas e a gente vai precisar usar identidades trigonométricas e propriedades de limites.

Passo 2

A gente lembra da identidade trigonométrica que diz:
1 - cos x = 2sin^2l(x2r)
e também da expressão do seno em função de meio ângulo:
sin x = 2sinl(x2r)cosl(x2r)
Essas fórmulas são úteis para simplificar a forma original.

Passo 3

Substituindo essas identidades na fração, temos:
1-cos xsin x = 2sin^2l(x2r)2sinl(x2r)cosl(x2r) = sinl(x2r)cosl(x2r) = tanl(x2r)
Aqui simplificamos o 2 e cancelamos uma cópia de sin(x/2), ficando só o tan(x/2).

Passo 4

Para concluir, usamos que quando xto0, temos x/2to0 e a função tangente é contínua em zero. Logo,
limxto0tanl(x2r) = tan(0) = 0
Portanto, o limite original também vale zero.

Resposta

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