Seja h(x)=integral6 x-10^x^3-5 x cos (t^5+t) d t. Determine
h^prime(x).

Passo 1

Beleza, então a gente tem a função $ h(x) = \int_{6x - 10}{x{3} - 5x} \cos(t^{5} + t) , dt $. O objetivo é encontrar a derivada dessa função, ou seja, $ h’(x) $. Para resolver isso, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo juntamente com a Regra da Cadeia. Precisamos entender como derivar uma função que é definida por uma integral onde os limites são funções de $ x $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema Fundamental do Cálculo na parte que nos interessa: se temos uma função definida por uma integral com limites variáveis, a derivada dessa função em relação a $ x $ é dada pela função dentro da integral avaliada nos limites, multiplicada pela derivada dos limites.
Matematicamente, se $ H(x) = \int_{a(x)}^{b(x)} f(t) , dt $, então:
x

Passo 3

Aplicando essa regra na nossa função $ h(x) $:
h(x)

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas dos limites:
ddx(x^3 - 5x) = 3x^2 - 5
ddx(6x - 10) = 6

Passo 5

Substituindo essas derivadas na expressão de $ h’(x) $:
h'(x)

Resposta

A derivada de $ h(x) $ é:
h(x)

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