Seja
. Determine
.
Passo 1
Beleza, então a gente tem a função $ h(x) = \int_{6x - 10}{x{3} - 5x} \cos(t^{5} + t) , dt $. O objetivo é encontrar a derivada dessa função, ou seja, $ h’(x) $. Para resolver isso, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo juntamente com a Regra da Cadeia. Precisamos entender como derivar uma função que é definida por uma integral onde os limites são funções de $ x $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema Fundamental do Cálculo na parte que nos interessa: se temos uma função definida por uma integral com limites variáveis, a derivada dessa função em relação a $ x $ é dada pela função dentro da integral avaliada nos limites, multiplicada pela derivada dos limites.
Matematicamente, se $ H(x) = \int_{a(x)}^{b(x)} f(t) , dt $, então:
Passo 3
Aplicando essa regra na nossa função $ h(x) $:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas dos limites:
Passo 5
Substituindo essas derivadas na expressão de $ h’(x) $:
Resposta
A derivada de $ h(x) $ é: