Em cada item, determine a equação da reta tangente:
ao gráfico de y=(x-1) e^x+3 ln x+2 em P(1,2).

Passo 1

Estamos buscando a reta tangente ao gráfico de y=(x-1)e^{x}+3\ln x+2 no ponto P(1,2). Para isso, precisamos da derivada da função em x=1 (que vai nos dar o coeficiente angular) e depois usar a fórmula da reta tangente ponto-inclinação.

Passo 2

Para achar a derivada y’, aplicamos a regra do produto em (x-1)e^{x} e a derivada de \ln x. O cálculo fica:
y'=ddx[(x-1)e^x]+ddx[3ln x]+ddx[2]=e^x+(x-1)e^x+3x
Depois, somando termos semelhantes:
y'=x e^x+3x

Passo 3

Agora avaliamos em x=1:
y'(1)=1cdot e^1+31=e+3
Esse é o coeficiente angular m da reta no ponto P.

Passo 4

Com ponto P(1,2) e m=e+3, usamos a fórmula da reta ponto-inclinação:
y-y0=m(x-x0)
Substituindo P e m:
y-2=(e+3)(x-1)
Se preferir, isolamos y:
y=(e+3)x-(e+1)

Resposta

y=(e+3)x-(e+1)

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