Calcule a integral
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que temos aqui. O exercício pede para calcular a integral $ I = \int \left(e^{2x} + e^{4x}\right) \ln\left(1 + e^{2x}\right) , dx $. Vamos usar conhecimentos de Cálculo Integral, especialmente a técnica de integração por partes e substituição. Precisaremos identificar quais partes da função podemos separar para aplicar essas técnicas e simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a estrutura da integral. Temos dois termos dentro da integral: $ e^{2x} $ e $ e^{4x} $, ambos multiplicados por $ \ln\left(1 + e^{2x}\right) $. Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Agora, vamos focar na primeira integral:
Passo 3
Para resolver $ I_1 $, vamos usar a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
Vamos escolher:
- $ u = \ln\left(1 + e^{2x}\right) $
- $ dv = e^{2x} , dx $
Agora, precisamos encontrar $ du $ e $ v $:
Derivando $ u $:
Integrando $ dv $:
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Simplificando a segunda parcela:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral restante:
Fazendo uma substituição para simplificar. Vamos deixar $ t = e^{2x} $, então $ dt = 2e^{2x} , dx $ ou $ dx = \frac{dt}{2t} $. Substituindo na integral:
Simplificando a fração:
Então, a integral fica:
Voltando para $ t = e^{2x} $:
Passo 6
Agora, substituímos de volta na expressão de $ I_1 $:
Simplificando:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 7
Agora, vamos resolver a segunda parte da integral original:
Novamente, vamos usar a integração por partes. Escolhemos:
- $ u = \ln\left(1 + e^{2x}\right) $
- $ dv = e^{4x} , dx $
Calculando $ du $ e $ v $:
Aplicando a integração por partes:
Simplificando a integral restante:
Passo 8
Para resolver a última integral, fazemos uma substituição similar:
Deixe $ t = e^{2x} $, então $ dt = 2e^{2x} , dx $ e $ dx = \frac{dt}{2t} $. Substituindo:
Simplificando a fração:
Então, a integral fica:
Voltando para $ t = e^{2x} $:
Passo 9
Substituindo de volta na expressão de $ I_2 $:
Simplificando:
Agrupando termos semelhantes:
Resposta
Somando $ I_1 $ e $ I_2 $, a integral original $ I $ fica:
Podemos simplificar ainda mais agrupando termos semelhantes:
Simplificando os coeficientes:
Portanto, a solução final é:
Onde $ C $ é a constante de integração.