Calcule a integral I=integral(e^2 x+e^4 x) ln (1+e^2 x) d x.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que temos aqui. O exercício pede para calcular a integral $ I = \int \left(e^{2x} + e^{4x}\right) \ln\left(1 + e^{2x}\right) , dx $. Vamos usar conhecimentos de Cálculo Integral, especialmente a técnica de integração por partes e substituição. Precisaremos identificar quais partes da função podemos separar para aplicar essas técnicas e simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a estrutura da integral. Temos dois termos dentro da integral: $ e^{2x} $ e $ e^{4x} $, ambos multiplicados por $ \ln\left(1 + e^{2x}\right) $. Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
e^2x
Agora, vamos focar na primeira integral:
e^4x

Passo 3

Para resolver $ I_1 $, vamos usar a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
I1
Vamos escolher:
  • $ u = \ln\left(1 + e^{2x}\right) $
  • $ dv = e^{2x} , dx $
Agora, precisamos encontrar $ du $ e $ v $:
Derivando $ u $:
integral u , dv = uv - integral v , du
Integrando $ dv $:
u = ln(1 + e^2x)

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
I1 = uv - integral v , du = ln(1 + e^2x) cdot e^2x2 - integral e^2x2 cdot 2e^2x1 + e^2x , dx
Simplificando a segunda parcela:
I1 = e^2x2 ln(1 + e^2x) - integral e^4x1 + e^2x , dx

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral restante:
integral e^4x1 + e^2x , dx
Fazendo uma substituição para simplificar. Vamos deixar $ t = e^{2x} $, então $ dt = 2e^{2x} , dx $ ou $ dx = \frac{dt}{2t} $. Substituindo na integral:
t = e^2x
Simplificando a fração:
dt = 2e^2x , dx
Então, a integral fica:
dx = dt2t
Voltando para $ t = e^{2x} $:
integral t^21 + t cdot dt2t = 12 integral t1 + t , dt

Passo 6

Agora, substituímos de volta na expressão de $ I_1 $:
I1
Simplificando:
I1 = e^2x2 ln(1 + e^2x) - ( e^2x2 - 12 ln(1 + e^2x) ) + C
Agrupando termos semelhantes:
I1 = e^2x2 ln(1 + e^2x) - e^2x2 + 12 ln(1 + e^2x) + C

Passo 7

Agora, vamos resolver a segunda parte da integral original:
I2 = integral e^4x ln(1 + e^2x) , dx
Novamente, vamos usar a integração por partes. Escolhemos:
  • $ u = \ln\left(1 + e^{2x}\right) $
  • $ dv = e^{4x} , dx $
Calculando $ du $ e $ v $:
u = ln(1 + e^2x)
dv = e^4x , dx
Aplicando a integração por partes:
du
Simplificando a integral restante:
v

Passo 8

Para resolver a última integral, fazemos uma substituição similar:
Deixe $ t = e^{2x} $, então $ dt = 2e^{2x} , dx $ e $ dx = \frac{dt}{2t} $. Substituindo:
t = e^2x
Simplificando a fração:
dt = 2e^2x , dx
Então, a integral fica:
dx = dt2t
Voltando para $ t = e^{2x} $:
integral t^31 + t cdot dt2t = 12 integral t^21 + t , dt

Passo 9

Substituindo de volta na expressão de $ I_2 $:
I2
Simplificando:
I2 = e^4x4 ln(1 + e^2x) - 12 ( e^4x4 - e^2x2 + 12 ln(1 + e^2x) ) + C
Agrupando termos semelhantes:
I2 = e^4x4 ln(1 + e^2x) - e^4x8 + e^2x4 - 14 ln(1 + e^2x) + C

Resposta

Somando $ I_1 $ e $ I_2 $, a integral original $ I $ fica:
I1
Podemos simplificar ainda mais agrupando termos semelhantes:
I2
Simplificando os coeficientes:
I
Portanto, a solução final é:
I = I1 + I2 = ( e^2x + 12 ) ln(1 + e^2x) - e^2x2 + ( e^4x - 14 ) ln(1 + e^2x) - e^4x8 + e^2x4 + C
Onde $ C $ é a constante de integração.

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