Calcule d y / d x, se y=f(x) é definida implicitamente pela equação
x ln y-y ln x=1

Passo 1

O enunciado define implicitamente uma função y=f(x) pela relação
xln y - yln x = 1
e pede dydx. O conteúdo principal é diferenciação implícita, usando regra do produto e regra da cadeia para ln.

Passo 2

Derivamos ambos os lados em relação a x:
ddxl(xln yr);-;ddxl(yln xr);=;ddx(1)=0
Agora
ddx(xln y) =1cdotln y + xcdot1y,dydx =ln y + xyy',
ddx(yln x) =y'ln x + ycdot1x =y'ln x + yx

Passo 3

Substituindo na equação e distribuindo o sinal:
ln y + xyy' - l(y'ln x + yxr) = 0 ;Longrightarrow; xyy' - y'ln x + ln y - yx = 0
Colocando y' em evidência:
y'l(xy-ln xr) + l(ln y - yxr)=0 ;Longrightarrow; y'l(xy-ln xr) =yx-ln y

Passo 4

Isolando y':
y' =dfracyx-ln ydfracxy-ln x
Multiplicando numerador e denominador por xy dá uma forma alternativa:
y' =y,(y - xln y)x,(x - yln x)

Resposta

dydx = yx-ln y xy-ln x ;;=;; yl(y - xln yr)xl(x - yln xr)

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