4- (2 pontos)A pressão em P (em kilopascals), V volume (em litros) e temperatura T (em kelvins) de um mol de um gás ideal relacionam-se pela equação PV=8,31 T. Utilizando o conceito de diferenciação, determine a taxa de variação da pressão quando a temperatura é 200 K e está aumentando com a taxa de 0,2 K / s e o volume é 110 L e está aumentando com a taxa de 0,35 L

Passo 1

O enunciado dá a equação de estado do gás ideal
P,V = 8,31,T
e pede a taxa de variação tfrac dP dt quando
,T=200 K, tfrac dT dt=0,2 K/s,
,V=110 L e tfrac dV dt=0,35 L/s.
Vamos usar diferenciação implícita em relação ao tempo t.

Passo 2

Diferenciando ,P,V = 8,31,T em relação a t, pela regra do produto, obtemos
d dt(P,V) = P, dV dt ;+; V, dP dt = 8,31, dT dt

Passo 3

Isolando tfrac dP dt na equação
P, dV dt + V, dP dt = 8,31, dT dt,
temos
V, dP dt = 8,31, dT dt - P, dV dt,
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dP dt = 8,31,tfrac dT dt ;-; P,tfrac dV dtV

Passo 4

Antes de calcular tfrac dP dt, achamos P no instante dado pela própria equação de estado:
P = 8,31,TV = 8,31times200110 approx 15,11 kPa

Passo 5

Substituindo P, tfrac dT dt=0,2, tfrac dV dt=0,35 e V=110, obtemos
dP dt = 8,31times0,2 ;-; 15,11times0,35110 = 1,662 ;-; 5,2885110 approx -0,03297 kPa/s

Resposta

dP dt approx -0,033 kPa/s

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