3-(2 pontos) Sabendo que y x^2+y^3-z=3 x^3 y z determine partial z / partial x.

Passo 1

O enunciado nos dá a relação implícita
y x^2 + y^3 - z = 3 x^3 y z
e pede partial z/partial x, tratando y como constante. Vamos usar diferenciação implícita em relação a x.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x, com partial y/partial x = 0 e usando partial z/partial x para a derivada de z:
ddxl(y x^2r) + ddxl(y^3r) - partial zpartial x = ddxl(3 x^3 y zr)
Como y é constante:
2xy + 0 - partial zpartial x = 3ycdot 3x^2,z + 3x^3y;partial zpartial x,
ou seja,
2xy - partial zpartial x = 9x^2y,z + 3x^3y;partial zpartial x

Passo 3

Agrupando os termos que envolvem partial z/partial x:
2xy - 9x^2y,z = partial zpartial x + 3x^3y;partial zpartial x = (1 + 3x^3y),partial zpartial x
Logo,
partial zpartial x = 2xy - 9x^2y,z1 + 3x^3y

Resposta

boxedpartial zpartial x = y,(2x - 9x^2z)1 + 3x^3y = xy,(2 - 9xz)1 + 3x^3y

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